掉節操的星期一又來了，是以呢一起來觀賞一下數學之騷美。
這事兒和17世紀的一道謎題有關，直到後來微積分被建立起來以後才得正解。雖然問題不難，但結果驚豔。
我先來問一個比較「二」的問題： 兩點之間最短的路徑是什麼？
喏，别猜疑我是在逗你們，或拿非歐幾何抖機靈，真心希望你們兩手一攤就說是一條直線。
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鐵線上的珠子
現在我們來看一下這次節目我們要探讨的問題： 如果ab兩點是在空間中垂直放置的，那麼這兩點之間的最快路徑是什麼？
舉幾個圖，如果我們将兩點之間用鐵線連接配接，上面穿一顆圓潤的珠子，那麼以下哪種姿勢的路徑可以讓珠子以最快的速度從a點滑降到b點？
注意，此問題中要加上重力加速度(但是不考慮摩擦力和空氣阻力)的情況下，考察那條鐵線上的珠子最快降落到b點，給你兩分鐘時間……
诶？聽上去貌似都有點道理！您覺得呢？滑鼠别撒手，跟我繼續看下去……
在17世紀末，紮堆出現了一大批傑出的數學家：牛頓、貝努裡、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達……他們都在做這道題，出題的人是雅各布·伯努利他弟，約翰·伯努利：
“我，約翰·伯努利，想找到世界上最棒的數學家。沒有比出道難題更為難人，更能公平公正地爽到我了，能解決這個問題的人必能揚名立萬，千古流芳。成為能與帕斯卡，費馬等牛人齊名的大v。請允許我代表整個數學界提出這個尤其能在今天考驗大家的數學技巧和思維耐力的問題。如果有人能把答案遞交與我，我會将其公開，并授予其應得的獎賞。”
這個約翰·伯努利是誰？好像口氣很吊的樣子，反正你們就當他是知乎的黃繼新就行了，要不是他，牛頓的萬有引力還能早些獲得承認，他們一家人都是大學霸，兄弟，父子之間還互相瞧不上眼。
史載是牛頓第一個找到了正确解法和答案。伽利略幾十年前已經給出了自己的結論，但由于手裡沒有微積分，得出了錯誤的答案，是以咱也别自慚愧，不知道也很正常。
最速曲線 (brachistochrone curve)
這個問題存在一個最優解，這條曲線有一個拗口的名字，叫 brachistonchrone 曲線(詞源來自希臘語，brachistos是最短的意思，chronos 意思是時間)。這的确念起來累舌頭，但先别皺眉，萊布尼茨還想更佶屈聱牙地叫它 tachystopote ……
最速曲線的形狀接近那個「跳台滑雪」(上圖第三個)，起始近乎的垂直加速讓珠子獲得了快速通過後半程水準位移的能力，平均速度最快。上圖的動畫裡，紅色的就是那條「最速曲線」。(伽利略的結論錯在認為完美的圓弧才是最快的路徑。)
關于變量的計算
在這裡要得到的最優解的計算，不是要将一個函數裡的某個變量最小化，而是需要一個函數來把其他變量最小化。這就是「變分法」。關于變分法的介紹很多，是以我在這裡就快速展示一下這個過程，反正 @sein也不按字數發糧票……
計算的基本思路是「能量守恒」。墜落的珠子把勢能變成動能。如果我們把這條彎曲的路徑長度記做s，每一段無線小的路徑記做ds，得：
不同的路徑都會有不同的函數，在這裡，我們的目标是找到那個最小的y的函數表達式。
我們知道路徑是連續的(沒有坑窪和突然的起伏)，而且我們知道隻有一個變量就是加速度，是以得到一個二階導數 d2y/dx2，而且我們知道起點和終點的值。
抄個近道直接給你們答案吧，下面是關于夾角θ切線的參數方程
等式中k是一個保證曲線經過終點(xb，yb)的系數。
擺線(cycloid)
上式所得到的圖像，就是下圖我們所看到的「擺線」，美不勝收……
所謂擺線，描述的是某個圓上的一點，在圓沿直線運動時候的滑過的軌迹。
想象你的車跑在這樣形狀的一個坡上，轱辘就是那個黑點，那它運動速度最快的區間就是在這條擺線的 0≤θ≤π 的範圍裡，從垂直下降到回歸水準位置的這段路徑上(見下圖)。
最速曲線對于建造過山車有巨大的指導意義，那些造過山車的工程師總要絞盡腦汁在有限的垂降距離裡，盡快達到最高速爽到你。如我們剛才所證的，「最速曲線(brachistochrone curve)」是兩點之間最快的路徑。
這在競技體育上也大有用處。如果你是一個滑雪運動員，目标是最短時間沖線，你根本就不在乎兩點間的最短路徑，而是最快路徑。如果你沿着最速曲線的路徑下滑，你會獲得更多的加速度優勢。
能看到這裡的都是好同學
這事兒還能更帶勁。
在均一力場的架構下，「最速曲線(brachistochrone curve)」有時候也被稱之為「等時曲線(tautochrone)」(依舊感謝希臘人，taut的意思是「相等」)。
你可以把物體放在「等時曲線」的任何位置上，它們都将以 相同的時間 滑落到同一個位置。
位置越高的物體，将以更快的速度，和位置較低的物體一起通過最低點。(具體時長是π乘以圓弧的半徑除以g的平方根)。
你可以在威武的wolfram 上玩到更精彩的例子
我們回憶一下高中的實體知識，老師講過鐘擺的運動周期取決于擺臂的長度，但這個說法隻是理想狀态下的近似結果。當鐘擺真甩起來的時候，其實擺臂的長度是有細微微的變化的：
當擺臂很長，而擺幅很小的時候，這個誤差也很小，但這個誤差是躲不掉的。最早發現這個問題的是數學家惠更斯，他用一個叫做「翻轉擺線的漸開線( involute of an inverted cycloid)」的特别方法糾正了這個誤差(後面講到)，制造出了完美的鐘擺(惠更斯鐘擺)，他是曆史上第一個研究鐘擺在擺線頂端出現誤差的人。
如果擺臂的長度是擺線周長的一半，那麼鐘錘運作的軌迹是沿着一條擺線以固定的時長運動，且時長與擺動的高點位置無關。漸開線指的是一條描述擺臂上一動點沿着曲線運動，與所選切線上的交點的軌迹。(如果每個字都認識，這真不是我的錯……，下圖藍色那段就是所謂「漸開線」)。
下圖就是惠更斯設計的鐘擺，鐘擺頂部有兩片金屬簧片，現在被稱之為 huygen's chops。
當鐘擺擺動時，吊繩就貼上了簧片，簧片的形狀就是擺線的漸開線，鐘擺是以就沿着完美的擺線運作了。
擺線，最速曲線和等時曲線
擺線的特性在名著《白鲸記》中也有描述：
「煉鲸油鍋」也包含着數學的光輝。pequod号捕鲸船的左舷的鍋子裡，當我用滑石打磨鍋壁的時候，注意到了這個神奇的現象，所有的東西都按照擺線的規則，無論從哪兒開始，都以同樣的時間滑落到鍋底。
如果你還在玩四驅模型車，那麼你可以告訴孩子們，如果是在一個最速曲線形狀的滑道上比賽，無論賽車從哪兒起跑，比賽都是公平的。
(當然機靈的小家夥們會告訴你，紅色的車子會跑的最快)。
一個符合數學要求的滑闆溜碗賽場，應該兩邊是符合「等時曲線」的形狀。如果你在這種賽場和人較勁，那麼你可以放心，無論他們踩着什麼器材，大家在坡底的耗時都是一樣的。如果形狀不如意，那麼你最好别沿着坡度直接下去，最好滑出一道最速曲線的軌迹來。
再說一次漸開線
我覺得最後值得說一說漸開線，它和擺線一樣有趣，而且在工作中更能發揮實際作用。比如齒輪。早期的齒輪都是按照擺線的輪廓制作的。
這種齒輪一般具有更寬的齒牙截面，是以也更強更有力，但在現代工業制造中已經很少見了。如上圖所示，擺線齒輪是由兩條擺線為輪廓構成的，這個樣子的齒輪現在在自行車上比較常見。在動畫最後，你會看到齒牙根部又被切掉了一塊，這是在鐘表齒輪上常見的做法(為了減少重量，更重要的是減少碰撞和摩擦。)
原文釋出時間為：2016-11-05
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