本節書摘來自華章社群《電子元器件的可靠性》一書中的第2章，第2.7節正态分布或高斯分布，作者王守國，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章社群”公衆号檢視
2.7 正态分布或高斯分布
2.7.1 正态分布規律
正态分布（normal，gaussian distribution）最初是由誤差理論推導出來的，是機率論中最重要的機率分布之一。它是哈根和高斯從不同假設角度出發，推導出相同的分布函數，故又稱高斯分布，其分布密度函數f(t)為f(t)=12πe－(t－μ0)22σ2（2-13)式中，σ、μ0為與時間無關的常數。σ稱為标準偏差或方均根誤差，μ0稱為均值。其失效分布密度函數如圖2.13a所示。
從圖2.13中可以看出：
1） 曲線關于μ0左右對稱，兩邊的面積正好各占一半，且(μ0－σ)～(μ0+σ)的面積為曲線下總面積的68.3%，(μ0－2σ)～(μ0+2σ)的面積為曲線下總面積的95.4%，(μ0－3σ)～(μ0+3σ)的面積為曲線下總面積的99.7%，而不論σ值的大小如何均是這樣，如圖2.13b所示。
2） 在相同的σ值下，μ0的大小隻影響圖形的位置，而不影響形狀。也就是說，μ0影響分布函數的平均值。
3） 在相同的μ0值下，σ的大小隻影響曲線的平坦程度。σ越大，曲線越平坦，其失效機率分布越分散。
是以，隻要确定均值μ0和标準偏差σ，就完全确定正态分布曲線。
2.7.2 失效率的狀态分布
正态分布代表了産品的失效時間是以均值μ0為中心的對稱分布，其失效率随時間增長而遞增。正态分布可用來描述産品在某一時刻後由損耗或退化産生的失效。産品服從正态分布的可靠性特征量分别為:
可靠度r(t)=∫∞tf(t)dt=12πσ∫∞te－(t－μ0)22σ2dt累積失效機率f(t)=1－r(t)=∫t0f(t)dt=12πσ∫t0e－(t－μ0)22σ2dt失效率λ(t)=－1r(t)dr(t)dt=f(t)r(t)∫∞tf(t)dt=e－(t－μ0)22σ2∫∞te－(t－μ0)22σ2dt平均壽命μ=∫∞0tf(t)dt因為正态分布是對稱分布，是以其數學表達式應為μ=∫∞0tf(t)dt=∫∞－∞t12πσe－(t－μ0)22σ2dt設z=t－μ0σ，則t=σz+μ0，dt=σdz
代入上述，則可得μ=12π∫∞－∞(σz+μ0)e－z22dz
=12π∫∞－∞σze－z22dz+12π∫∞－∞μ0e－z22dz
=－σ2π∫∞－∞de－z22+μ02π∫∞－∞e－z22dz
=－σ2πe－z22∞－∞+2μ02π∫∞0e－z22dz
=2μ02π2∫∞0e－z22dz2=2μ0ππ2=μ0 是以，服從正态分布的電子産品的平均壽命是常數，且等于分布函數的均值μ0。顯然，σ将表示産品壽命的分散程度，σ小表示分散程度小。
同樣，也可以求出正态分布的方差，它等于分布的标準偏差的平方，即正态分布的方差為dt=∫∞－∞(t－μ0)2f(t)dt=σ2 正态分布在可靠性計算中有兩個主要應用：第一是考慮元器件的定量特性與标稱值的關系，包括計算電子元器件特性符合性能要求的機率；第二是用于電子元器件描述耗損失效期的失效分布規律，因為耗損失效期的分布規律非常接近于正态分布。
必須指出的是，在威布爾分布與正态分布的分布函數均值和标準偏差相等的條件下，當威布爾分布的形狀參數m介于3～4之間時，兩種分布的分布密度函救的曲線基本上是重合的。是以，可以将正态分布規律用m=3～4的威布爾分布規律來近似。
2.7.3 正态分布機率紙
正态分布參數μ0、σ可用解析方法計算來确定，也可以根據類似威布爾分布的分析方法構造出正态機率紙，用圖解法來求得。
因為累積失效機率函數f(t)=1－r(t)=∫t0f(t)dt=12πσ∫t0e－(t－μ0)22σ2dt若令z=t－μ0σ，則dz=1σdt，有f(t)=1－r(t)=∫z－∞12πe－z22dz=Φ(z) 顯然，給出一個z值，就有函數值Φ(z)與之對應，正态分布表就是z值與Φ(z)值之間的對應關系表，其特殊點的對應關系如圖2.14所示。
利用其對應關系可以構造出一種特殊機率紙——正态機率紙。正态機率紙也由兩個直角坐标系構成，一個直角坐标系是t～z直角坐标系，橫軸是t軸，縱軸是z軸，兩坐标軸的刻度是線性的，另一個直角坐标系是t～Φ(z)坐标系，由于f(t)=Φ(z)，也就是t～f(t)坐标系，其橫軸還是原來的t軸，刻度不變；縱軸還是原來的縱軸，但縱軸的f(t)=Φ(z)是按圖2.14對應z值的Φ(z)值劃分刻度的，進而構成正态機率紙，如圖2.15所示。
因為z=t－μ0σ，z與t呈線性關系，是以，凡産品失效機率遵循正态分布規律時，在t～z直角坐标系中将描繪出一條直線，而這條直線同樣描繪在t～f(t)坐标系中。是以，滿足正态分布的分布函數f(t)在t～f(t)坐标系中必将是一條直線，把這樣的機率紙稱為正态機率紙。
對于正态分布用正态機率紙來處理是十分友善的。下面簡述正态機率紙的應用。
1.确定失效分布
1） 同前所述，将試驗資料由小到大排列，按t～f(t)作成資料表；
2） 在正态機率紙上描繪出［ti,f(ti)］對應的點；
3） 通過所描出的點按最小二乘法原則或目視法配置回歸直線，此直線就是所确定的産品失效分布曲線。
2.正态分布參數的估計
（1） 平均壽命μ0的估計
過f(t)軸上刻度為50%的點引水準線與回歸直線相交，過交點引垂線與t軸相交的刻度值即為μ0。
因為f(t)=0.5所對應的z=0，即t0.5=zσ+μ0=μ0
（2） 标準偏差σ的估計
過f(t)軸上刻度為84.1%或15.9%的點，引水準線與回歸直線相交，過交點做垂線與t軸相交的刻度值分别為t0.841或t0.159，則σ=t0.841－t0.5=t0.841－μ0或σ=t0.5－t0.159=μ0－t0.159如圖2.15所示。這是因為z=t－μ0σ，當z=－1時，有－1=t0.159－μ0σ；當z=0時，有0=t0.5－μ0σ；當z=1時，有1=t0.841－μ0σ。
實際上有不少産品，其失效分布并不完全符合正态分布，更符合對數正态分布，如某些半導體器件和引擎材料疲勞試驗的裂縫缺陷導緻的失效，其分布符合對數正态分布。對數正态分布函數形式和分析方法與正态分布相類似，不同的隻是将t用lnt來代替而已，其分布函數為f(t)=Φlnt－μ0σ如令lnt=x，則u=x－μ0σ，有f(t)=Φx－μ0σ=Φ(u) 由于t與x一一對應，u與Φ(u)也一一對應，是以，可以構造出對數正态機率紙。它與正态機率紙的唯一不同之出，隻是橫軸不按t線性刻度劃分，而是按lnt線性刻度劃分。同樣可得對數正态分布的對數均值估計值為μ0=lnt0.5，以及對數标準偏差的估計值為σ=μ0－lnt0.159或σ=lnt0.841－μ0 這裡必須特别指出的，由這種機率紙雖可估計出對數均值μ0和對數标準偏差σ，但不能直接從圖上估計出産品的壽命特征值，還必須按下式換算才能得到産品的壽命均值α和标準偏差的估計值β公式，即α=eμ0+0.5σ2
σ=αeσ2－1