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经典算法题每日演练——第十二题 线段树

       这一篇我们来看树状数组的加强版线段树,树状数组能玩的线段树一样可以玩,而且能玩的更好,他们在区间求和,最大,平均

等经典的RMQ问题上有着对数时间的优越表现。

一:线段树

     线段树又称"区间树”,在每个节点上保存一个区间,当然区间的划分采用折半的思想,叶子节点只保存一个值,也叫单元节点,所

以最终的构造就是一个平衡的二叉树,拥有CURD的O(lgN)的时间。

经典算法题每日演练——第十二题 线段树

从图中我们可以清楚的看到[0-10]被划分成线段的在树中的分布情况,针对区间[0-N],最多有2N个节点,由于是平衡二叉树的形

式也可以像堆那样用数组来玩,不过更加耗费空间,为最多4N个节点,在针对RMQ的问题上,我们常常在每个节点上增加一些sum,

max,min等变量来记录求得的累加值,当然你可以理解成动态规划的思想,由于拥有logN的时间,所以在RMQ问题上比数组更加优美。

二:代码

1:在节点中定义一些附加值,方便我们处理RMQ问题。

 2:构建(Build)

前面我也说了,构建有两种方法,数组的形式或者链的形式,各有特点,我就采用后者,时间为O(N)。

3:区间查询

在线段树中,区间查询还是有点小麻烦的,存在三种情况。

① 完全包含:也就是节点的线段范围完全在查询区间的范围内,这说明我们要么到了“单元节点",要么到了一个子区间,这种情况

                  就是我找到了查询区间的某一个子区间,直接累积该区间值就可以了。

② 左交集:  这种情况我们需要到左子树去遍历。

③右交集:   这种情况我们需要到右子树去遍历。

比如说:我要查询Sum[4-8]的值,最终会成为:Sum总=Sum[4-4]+Sum[5-5]+Sum[6-8],时间为log(N)。

4:更新操作

这个操作跟树状数组中的更新操作一样,当递归的找到待修改的节点后,改完其值然后在当前节点一路回溯,并且在回溯的过程中一

路修改父节点的附加值直到根节点,至此我们的操作就完成了,复杂度同样为logN。

最后我们做个例子,在2000000的数组空间中,寻找200-3000区间段的sum值,看看他的表现如何。

经典算法题每日演练——第十二题 线段树
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