作者：Vamei 出处：http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载，也请保留这段声明。谢谢！
深度为n的二叉树
深度为log(n)的二叉树
我们将处于同一深度的节点归为一层。如果除最后一层外的其他层都被节点填满时，二叉树有最小深度log(n)。
n和log(n)的时间复杂度意味着什么呢？时间复杂度代表了完成算法所需要的运算次数。时间复杂度越小，算法的速度越快。
可以看到，随着元素的增加，log(n)的时间复杂度的增长要远小于n。所以，我们自然希望二叉搜索树能尽可能保持log(n)的深度。在上面深度为n的例子中，我们发现，每个节点只有左节点被填满。树的每一层都有很多空位。能不能尽可能减少每一层的空位呢？ (相应的，减少树的深度)
“紧致”的树
一种想法是先填满一层，再去填充下一层，这样就是一个完全二叉树(complete binary tree)。这样的二叉树实现插入算法会比较复杂。我们将介绍一种思路相似，但比较容易实现的树状数据结构——AVL树。
AVL树是根据它的发明者G. M. Adelson-Velskii和E. M. Landis命名的。它是一种特殊的二叉搜索树。AVL树要求: 任一节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1
(空树的深度为0。注意，有的教材中，采用了不同的深度定义方法，所以空树的深度为-1)
下面是AVL树:
AVL树
AVL树的特性让二叉搜索树的节点实现平衡(balance)：节点相对均匀分布，而不是偏向某一侧。因此，AVL树的搜索算法复杂度是log(n)的量级。
插入2: 破坏AVL树
观察节点5，它的左子树深度为2，右子树深度为0，所以左右两个子树深度相差为2，不再是AVL树。由于2的加入，从节点6，1，5，3到2的层数都增加1。6, 1, 5节点的AVL性质都被破坏。如果从节点2向上回溯，节点5是第一个被破坏的。从节点3开始的子树深度加1，这是造成6, 1, 5的AVL性质被破坏的本质原因。我们将5和3之间的路径画成虚线(就好像挂了重物，边被拉断一样)。
我们可以通过单旋照(single rotation)，调整以5为根节点的子树，来修正因为插入一个元素而引起的对AVL性质的破坏。如下:
Single rotation: 左侧超重，向右转
通过单旋转，3成为新的根节点，2,5称为3的左右子节点。子树重新成为AVL树。该子树的深度减小1，这将自动修正2带给节点6,1的“超负荷”。
单旋转效果如下：
向右单旋转
特别要注意的是，为了保持二叉树的性质，子树B过继给了节点5。
向左单旋转与之类似。作为练习，可以尝试绘制向左单旋转的示意图。
但如果插入的节点不是2，而是4，会是如何呢？
插入4
尝试单旋转，会发现无法解决问题。以5为根节点的子树向右单旋转后，树将以3为根节点，4,5为子节点。4比3大，却是3的左子节点，显然，这依然不符合二叉搜索树的性质。但基于和上面相似的原则(调整以5为根节点的树)，我们发现有一个简单的解决方式：
double rotation
上面的操作被称作双旋转(double rotation)。双旋转实际上是进行两次单旋转: 4为根节点的子树先进行一次向左的单旋转，然后将5为根节点的子树进行了一次向右的单旋转。这样恢复了树的ACL性质。
对于AVL树，可以证明，在新增一个节点时，总可以通过一次旋转恢复AVL树的性质。
当我们插入一个新的节点时，在哪里旋转？是用单旋转还是双旋转?
我们按照如下基本步骤进行：
1. 按照二叉搜索树的方式增加节点，新增节点称为一个叶节点。
2. 从新增节点开始，回溯到第一个失衡节点(5)。
(如果回溯到根节点，还没有失衡节点，就说明该树已经符合AVL性质。)
3. 找到断的边(5->3)，并确定断弦的方向(5的左侧)
4. 以断边下端(3)为根节点，确定两个子树中的哪一个深度大(左子树还是右子树)。
(这两棵子树的深度不可能相等，而且深度大的子树包含有新增节点。想想为什么)
5. 如果第2和第3步中的方向一致(都为左或者都为右)，需要单旋转以失衡节点为根节点的子树。
否则，双旋转以失衡节点为根节点的子树。
下面是AVL树的插入算法实现如下:
输出如下：
root: 18
depth: 2
root: 5
depth: 3
root->lchild: 2
root->lchild: 3
root->lchild->lchild: 2
(空行是额外加的)
总结:
AVL树: 平衡，深度相差不超过1
单旋转，双旋转