Hamilton回路的判定与构造

定理1：在一个具有n个顶点的无向连通图G中，如果任意两个顶点的度数之和大于n，则G具有Hamilton回路。此条件为充分条件

定理2：设图G =

<V,E>，是Hamilton图，则对于v的任意一个非空子集S，若以|S|表示S中元素数目，G-S表示G中删除了S中的点以及与这些点关联的边后得到的子图，则满足G-S的连通分支数W(G-S)<=|S|。此条件为必要条件。

构造Hamilton回路的算法过程，分成以下几个步骤：

1. 任意找两个相邻的节点 S 和 T，在它们基础上扩展出一条尽量长的没有重复节点的路径。也就是说，如果 S 与节点 v 相邻，而且 v 不在路径 S →

T 上，则可以把该路径变成 v → S → T，然后 v 成为新的 S。从 S 和 T 分别向两头扩展，直到无法扩为止，即所有与 S 或 T 相邻的节点都在路径

S → T 上。

2. 若 S 与 T 相邻，则路径 S → T 形成了一个回路。

3. 若 S 与 T 不相邻，可以构造出一个回路。设路径 S →

T 上有 k + 2 个节点，依次为 S、 v1、 v2…… vk 和 T。可以证明存在节点 vi， i ∈ [1, k)，满足 vi 与 T 相邻，且

vi+1 与 S 相邻。证明方法也是根据鸽巢原理，既然与 S 和 T 相邻的点都在该路径上，它们分布的范围只有 v1 ～ vk 这 k 个点， k ≤ N -

2，而 d(S) + d(T) ≥ N，那么可以想像，肯定存在一个与 S 相邻的点 vi 和一个与 T 相邻的点 vj， 满足 j <

i。那么上面的命题也就显然成立了。

找到了满足条件的节点 vi 以后，就可以把原路径变成 S → vi+1 → T → vi → S，即形成了一个回路。

4.

现在我们有了一个没有重复节点的回路。如果它的长度为 N，则汉密尔顿回路就找到了。

如果回路的长度小于 N，由于整个图是连通的，所以在该回路上，一定存在一点与回路以外的点相邻。那么从该点处把回路断开，就变回了一条路径。再按照步骤 1

的方法尽量扩展路径，则一定有新的节点被加进来。接着回到步骤 2。

模板题：POJ 2438 or HDU 4337 Childrens Dining

问题是求小朋友围着桌子的座次就是求原图中的一个环，但是要求这个环不能包含所给出的每条边，所以没给出的边却是可以使用的，也就是说本题实际上是在原图的反图上求一个环，即在每两个可以坐在相邻位置的小朋友连一条边，否则不连。使得该环包含所有顶点，即Hamilton回路。

由于有2n个小朋友，且每个小朋友的敌人最多n-1个，所以，每个小朋友可以一起与座的小朋友最少有n+1个，即度数>=n+1，所以任意两个小朋友度数之和d(u)+d(v)>=2n+2

> 2n，所以Hamilton回路存在。

代码：

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