一维插值
线性插值就是将相邻两点用直线连接起来
用线性插值进行近似计算，当插值区间小时，近似程度较高。
用多项式$p(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + ... + a_n * x^n $拟合
拉格朗日插值是用多条特殊的多项式函数，确定相应的系数，加权得到多项式函数
已知下面这几个点，我想找到一根穿过它们的曲线：
使用多项式是可以的， 但是大神的脑回路总是令人捉摸不透，拉格朗日是这么想的，第一，这肯定是多项式曲线，第二，他认为可以用多条曲线叠加得到，具体是这样的。
第一根曲线 \(f_1(x)\) ，在\(x_1\)点处，取值为1，其余两点取值为0：
同理在 \((x_2，f_2(x))\) ，\((x_3，f_3(x))\)处也这样做。
那么：
\[f(x) = y_1*f_1(x) + y_2*f_2x) + y_3*f_3(x)
\]
\[l_k(x) = \frac{(x-x_0)...(x-x_k-1)(x-x_k+1)...(x-x_n)}{(x_k-x_0)...(x_k-x_k-1)(x_k-x_k+1)...(x_k-x_n)} = \prod_{j = 0, j \neq k}^{n} \frac{x - x_j}{x_k - x_j}
基函数性质
(1)
\(
l_k(x_i) =
\begin{Bmatrix}
1, i=k \\
0, i \neq k
\end{Bmatrix}
(k = 0, 1 ... n)
\)
(2)\(l_k(x_i)\)是惟一确定的n次多项式
(3)拉格朗日插值所包含基函数个数与插值节点个数相同。
\[L_n(x) = \sum_{k=0}^{n}y_k l_k(x) = \sum_{k=0}^{n}y_k \prod_{j = 0, j \neq k}^{n} \frac{x - x_j}{x_k - x_j}
牛顿Newton插值基本思想是将待求的n次插值多项式\(P_n（x）\)改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件⑴确定\(P_n（x）\)的待定系数，以求出所要的插值函数。
用牛顿向前插值多项式计算
一阶均差：
二阶均差是一阶均差的均差：
三阶均差就是二阶均差的均差，以此类推，我们得到牛顿插值法为：
联系泰勒公式理解吧，大名鼎鼎的泰勒公式就是这么来的。
我们用二次函数：\(aX^2+bx+c\)来描述曲线，下图中一共有4个点，可以分成3个区间。每一个区间都需要一个二次函数来描述，一共需要9个未知数。下面的任务就是找出9个方程。
如下图所示：一共有\(x_0,x_1,x_2,x_3\)四个点，三个区间，每个区间上都有一个方程。
1.曲线方程在节点处的值必须相等，即函数在\(x_1,x_2\)两个点处的值必须符合两个方程，这里一共是4个方程：
\[a_1*x_1^2+b_1*x_1+c_1=f(x_1) \\
a_2*x_1^2+b_2*x_1+c_2=f(x_1) \\
a_2*x_2^2+b_2*x_2+c_2=f(x_2) \\
a_3*x_2^2+b_3*x_2+c_3=f(x_2) \\
2.第一个端点和最后一个端点必须过第一个和最后一个方程：这里一共是2个方程
3.节点处的一阶导数的值必须相等。这里为两个方程。
\[2*a_1*x_1+b_1 = 2*a_2*x_1+b_2 \\
2*a_2*x_1+b_2 = 2*a_3*x_2+b_3 \\
4.在这里假设第一个方程的二阶导数为0：这里为一个方程：
\[a_1=0
三次样条的原理和二次样条的原理相同，我们用函数\(aX^3+bX^2+cX+d\)这个函数来进行操作，这里一共是4个点，分为3个区间，每个区间一个三次样条函数的话，一共是12个方程，只要我们找出这12个方程，这个问题就算解决了。
1.内部节点处的函数值应该相等，这里一共是4个方程。
2.函数的第一个端点和最后一个端点，应该分别在第一个方程和最后一个方程中。这里是2个方程。
3.两个函数在节点处的一阶导数应该相等。这里是两个方程。
4.两个函数在节点处的二阶导数应该相等，这里是两个方程。
5.端点处的二阶导数为零，这里是两个方程。
\[a_1=0 \\
b_1=0 \\
二维插值
方法与一维数据插值类似
参考
1.Lagrange、Newton、分段插值法及Python实现
2.如何直观地理解拉格朗日插值法？
3.牛顿插值的几何解释是怎么样的？
4.三次样条插值法
5.（数值分析）各种插值法的python实现