1 问题引入
之前我们了解过的算法大部分都是无约束优化问题，其算法有：黄金分割法，牛顿法，拟牛顿法，共轭梯度法，单纯性法等。但在实际工程问题中，大多数优化问题都属于有约束优化问题。惩罚函数法就可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而使用无约束优化算法。
2 约束优化问题的分类
约束优化问题大致分为三类：等式约束、不等式约束、等式+不等式约束。
其数学模型为：
等式约束
min f(x),x\in R^n
s.t hv(x)=0,v=1,2,…,p<n
不等式约束
s.t gu(x)\leqslant 0,u=1,2,…,p<n
等式+不等式约束问题
3 惩罚函数法定义
惩罚函数法（SUMT法）又称序列无约束极小化技术，将等式约束与不等式约束的条件，经过适当定义的复合函数加到原目标函数上构造了惩罚函数，从而取消了约束，转而求解一系列无约束优化问题。
按照惩罚函数再优化过程中的迭代点是否在约束条件的可行域内，又分为内点法、外点法和混合法
内点法：迭代点再约束条件的可行域之内，只用于不等式约束。
外点法：迭代点再约束条件的可行域之外，既用于不等式约束又可用于等式约束。
4 外点惩罚函数法
等式约束：
min f=x1.2+x2.2,x\in R^n
s.t h1(x)=x1-2=0,h2(x)=x2+3=0
算法步骤
a、构造惩罚函数：F=f+M * { [ h1(x) ]^2 + [ h2(x) ]^2 } ，式中M为初始惩罚因子；
b、然后用无约束优化极值算法求解(牛顿法)；
c、如果相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离足够小【norm(x1-x0)<eps】，则收敛；
否则放大惩罚因子M=C*M，式中C为 罚因子放大系数；
d、转步骤a继续迭代；
1 matlab版本
2014a
2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.