第四章 微分中值定理及导数的应用

一、罗尔定理

1、几何意义

2、证明，闭区间可取得极值，最大值点处导数存在，左导数等于右导数，证明该点出导数只能等于零

二、拉格朗日定理

2、证明，作原函数与平行于曲线弦的一条直线的差，其端点值相等，则根据罗尔定理可证明

3、拉格朗日定理的其他形式

4、拉格朗日定理是罗尔定理的扩展

5、任意点处的拉格朗日定理

6、拉格朗日的有限增量公式

7、利用拉格朗日定理证明不等式

三、柯西定理

1、意义

2、证明

3、柯西定理是拉格朗日定理的扩展

四、泰勒公式

2、证明，应用柯西定理

3、公式的几种形式

4、应用公式求近似值并估计误差

5、泰勒公式是n阶的拉格朗日定理

五、洛必达法则

1、未定型

2、柯西定理证明

3、作用于极限求解

六、函数的增减性与极值

1、单调性与导数正负的关系，即单调性的充分必要条件

2、函数的极值及求法；导数与极值的关系

3、极值的充分条件

4、函数的最值

5、唯一驻点的最值特征

6、最值证明不等式

七、函数的凹凸性、拐点

1、曲线凹凸的定义（切线定义法、函数值定义法）

2、凹凸性的判定

3、曲线的渐近线，定理和推导过程

4、画图

八、曲率

1、光滑曲线，一阶导数连续，即曲线切线连续转动

2、有向光滑曲线的度量

3、弧微分

4、参量方程的弧微分表达式

5、单位弧长上的切线转角增量（即斜率增量）

6、平均曲率与某点的曲率

7、曲线点处曲率，是该点处切线倾斜角的微分比上该点的弧微分