从 二叉搜索树 和 平衡二叉树 的介绍中，可以发现二叉树这种结构具有一个很好的特性，当有序的二叉树构造完成之后，更改树中节点后，只需要的时间复杂度即可将二叉树重新调整为有序状态。若构造出一种具有特殊节点顺序的二叉树，使得每次对二叉树执行插入或删除节点操作后，都调整保持二叉树根节点的值为树中节点的极值，则
排序算法（五）：堆排序 个元素的集合，构造出这种二叉树后，只需要对树执行排序算法（五）：堆排序 次的取根节点操作，即可获得一个有序序列。整个取节点加调整操作的时间复杂度为排序算法（五）：堆排序 ，若构造这种二叉树的时间复杂度不高于排序算法（五）：堆排序 ，则采用构造这种二叉树的方式来完成排序的时间复杂度为排序算法（五）：堆排序 。排序算法（五）：堆排序
堆定义
上面提到的利用具有特殊节点顺序的二叉树完成排序的方式，就是堆排序。这里所说的节点顺序是指：树中每个节点的值都不小于（不大于）它的子节点值。堆描述的是一颗完全二叉树，在对数组进行排序的过程中，并不是真的构建一个二叉树结构，只是将数组中元素下标映射到完全二叉树，利用元素下标来表示父节点和子节点关系。
list type
tree type
通过以上两张图可知，堆中父子节点的下标关系为：
- 下标为 的节点，其左子节点下标为
排序算法（五）：堆排序 排序算法（五）：堆排序 - 的节点，其右子节点下标为
排序算法（五）：堆排序 排序算法（五）：堆排序 - 的节点，其父节点下标为
排序算法（五）：堆排序 排序算法（五）：堆排序
算法过程
以递增排序为例，集合初始为待排序集合，已排序集合为空
- 构造最大堆，即调整待排序集合，使得元素映射出的完全二叉树，满足每个节点元素值都不小于其子节点值
- 替换待排序集合中第一个元素和最后一个元素值，即在待排序集合映射出的完全二叉树上，将根节点值和树中最下面一层、最右边的节点值进行替换
- 调整堆结构使其满足节点大小顺序，标记待排序集合最后一个元素为已排序
- 重复步骤2, 3，直到待排序集合只有一个元素
演示示例
调整为最大堆结构
要保证每个节点的值不小于其左右子节点的值，只需要从后往前遍历集合中每个具有子节点的节点，使得其节点值不小于左右子节点的值即可（递归与子节点进行比较）。已知下标为
，所以具有
个元素的集合，起始遍历节点的下标为
起始待调整元素下标为 4，即值为 2 的节点
1 次调整后，下一个待调整元素下标为 3，即值为 0 的节点
2 次调整后，下一个待调整元素下标为 2，即值为 4 的节点
3 次调整后，下一个待调整元素下标为 1，即值为 3 的节点。这里注意，节点 3 与子节点 9 比较并交换后，需要递归与子节点进行比较，直到值不小于子节点值
step_1
step_2
4 次调整后，下一个待调整元素下标为 0，即值为 5 的节点。同样涉及递归操作
5 次调整后，当前结构即为最大堆
调整代码
def transformToHeap(arr, index, end):
targetIndex, leftChildIndex, rightChildIndex = index, 2 * index + 1, 2 * index + 2
if leftChildIndex < end and arr[leftChildIndex] > arr[targetIndex]:
targetIndex = leftChildIndex
if rightChildIndex < end and arr[rightChildIndex] > arr[targetIndex]:
targetIndex = rightChildIndex
if not targetIndex == index:
arr[index], arr[targetIndex] = arr[targetIndex], arr[index]
transformToHeap(arr, targetIndex, end)
代码中声明
用于指向根节点、左右子节点中的最大节点，若需要替换节点值，则递归调整替换后的根节点和其左右子节点。
变量用于标志待排序集合的边界。
迭代获取堆顶元素
重复将待排序集合首元素和尾元素进行替换，标记替换后的尾元素为已排序，并调整堆结构使其重新成为最大堆。
起始待替换根节点为 9，第 1 次替换并调整后结构后（调整过程上面已列出）
待排序集合：[8, 7, 4, 6, 5, 1, 2, 3, 0]
已排序集合：[9]
下一个待替换根节点为 8，第 2 次替换并调整后结构后
待排序集合：[7, 6, 4, 3, 5, 1, 2, 0]
已排序集合：[8, 9]
...
下一个待替换根节点为 0，第 9 次替换并调整后结构后
待排序集合：[0]
已排序集合：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
观察以上过程可知，每次排序后待排序集合元素数减一。
个元素的序列，经过
次排序后，待排序集合元素数为一，即完成排序。
迭代操作代码
def heapSort(arr):
index = len(arr) // 2 - 1
while index >= 0:
transformToHeap(arr, index, len(arr)) # transform arr to heap arr
index = index - 1
num = 1
while num < len(arr):
arr[0], arr[-num] = arr[-num], arr[0]
transformToHeap(arr, 0, len(arr) - num) # transform arr to heap arr
num = num + 1
代码中第一个循环为构造最大堆，第二个循环为替换待排序集合首尾元素，并调整最大堆。
算法分析
堆排序是一种不稳定排序算法，对于
个元素的序列，构造堆过程，需要遍历的元素次数为
，每个元素的调整次数为
，所以构造堆复杂度为
。迭代替换待排序集合首尾元素的次数为
，每次替换后调整次数为
，所以迭代操作的复杂度为
。由此可知堆排序的时间复杂度为
，排序过程属于原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为
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