LintCode领扣 题解丨大厂经典动态规划：背包问题

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]。

你不可以将物品进行切割。

在线评测地址：

https://www.lintcode.com/problem/backpack/?utm_source=sc-tianchi-sz0821 样例 1:

输入:  [3,4,8,5], backpack size=10
输出:  9
           

样例 2:

输入:  [2,3,5,7], backpack size=12
输出:  12           

算法：DP

从已知的题目中，可以总结出以下两点：

每件物品只有一种

每件物品最多选择一次

那么考虑对于前i件的物品在容量为w的背包下，最大的装载量是多少，由此可以总结出对应的子结构，进行动态规划。

算法思路

设计dp数组dpn，用dpi表示第i个物品在容量为j的背包下，最大的装载量。

在这个问题中，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i−1件物品的问题：

如果不放第i件物品，可得dpi=dpi−1

如果放了第i件物品，可得dpi=dpi−1]+A

i

总结状态转义方程为：dpi=max(dpi−1,dpi−1]+A[i])

复杂度分析

n表示物品件数，m表示背包容量

时间复杂度：O(nm)

空间复杂度：O(nm)

算法优化观察上方的状态转义方程，可以发现dpi方程的两个状态都只和dp[i-1]有关，显然通过O(nm)的空间复杂度，难免会浪费一些空间。

可以考虑使用滚动数组优化，建立dp数组dp[m]，使用dp[j-A[i]]代替dpi-1]。优化后状态转义方程为dp[j]=max(dp[j],dp[j−A[i]]+A[i])

优化后复杂度分析

空间复杂度：O(m)

代码思路分析

建立数组dp[m]表示背包容量为m的情况下，最大的装载量

初始化dp[0]=0

正序枚举A[i]，并倒叙枚举j，这样所需要的dp[j-A[i]]不会被提前更新

最后返回dp[m]，表示背包容量在m下的答案

public class Solution {

/**
 * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
 * @param A: Given n items with size A[i]
 * @return: The maximum size
 */
public int backPack(int m, int[] A) {
    // write your code here
    // 如果背包容量或者物品数量为0，则直接返回
    if (A.length == 0 || m == 0) {
        return 0;
    }
    int n = A.length;
    int[] dp = new int[m + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 滚动数组优化 倒序枚举j
        for (int j = m; j >= A[i]; j--) {
            dp[j] = Integer.max(dp[j], dp[j - A[i]] + A[i]);
        }
    }
    return dp[m];
}           

}

更多大厂面试动态规划题解参见九章算法官网：

https://www.jiuzhang.com/course/76/?utm_source=sc-tianchi-sz0821