推荐系统之矩阵分解及其Python代码实现

 有如下R(5,4)的打分矩阵：（“-”表示用户没有打分）

其中打分矩阵R(n,m)是n行和m列，n表示user个数，m行表示item个数

那么，如何根据目前的矩阵R（5,4）如何对未打分的商品进行评分的预测（如何得到分值为0的用户的打分值）？

——矩阵分解的思想可以解决这个问题，其实这种思想可以看作是有监督的机器学习问题（回归问题）。

矩阵R可以近似表示为P与Q的乘积：R（n,m）≈ P(n,K)*Q(K,m)

矩阵分解的过程中，将原始的评分矩阵

分解成两个矩阵

和

的乘积： 

矩阵P(n,K)表示n个user和K个特征之间的关系矩阵，这K个特征是一个中间变量，矩阵Q(K,m)的转置是矩阵Q(m,K)，矩阵Q(m,K)表示m个item和K个特征之间的关系矩阵，这里的K值是自己控制的，可以使用交叉验证的方法获得最佳的K值。为了得到近似的R(n,m)，必须求出矩阵P和Q，如何求它们呢？

 【方法】

 1. 首先令

 2. 损失函数：使用原始的评分矩阵

与重新构建的评分矩阵

之间的误差的平方作为损失函数，即：

      如果R(i,j)已知，则R(i,j)的误差平方和为：

　　最终，需要求解所有的非“-”项的损失之和的最小值：

 3. 使用梯度下降法获得修正的p和q分量：

• 　　求解损失函数的负梯度：

•        根据负梯度的方向更新变量：

 4. 不停迭代直到算法最终收敛（直到sum(e^2) <=阈值）

（Plus：为了防止过拟合，增加正则化项）

【加入正则项的损失函数求解】

 1.  首先令

 2.  通常在求解的过程中，为了能够有较好的泛化能力，会在损失函数中加入正则项，以对参数进行约束，加入

正则的损失函数为：

也即：

 3.  使用梯度下降法获得修正的p和q分量：

• 　　根据负梯度的方向更新变量：

【预测】利用上述的过程，我们可以得到矩阵

，这样便可以为用户 i 对商品  j 进行打分：

 【Python代码实现如下】（基于Python 3.X ；使用正则项）

1 # !/usr/bin/env python
 2 # encoding: utf-8
 3 __author__ = 'Scarlett'
 4 #矩阵分解在打分预估系统中得到了成熟的发展和应用
 5 # from pylab import *
 6 import matplotlib.pyplot as plt
 7 from math import pow
 8 import numpy
 9 
10 
11 def matrix_factorization(R,P,Q,K,steps=5000,alpha=0.0002,beta=0.02):
12     Q=Q.T  # .T操作表示矩阵的转置
13     result=[]
14     for step in range(steps):
15         for i in range(len(R)):
16             for j in range(len(R[i])):
17                 if R[i][j]>0:
18                     eij=R[i][j]-numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]) # .dot(P,Q) 表示矩阵内积
19                     for k in range(K):
20                         P[i][k]=P[i][k]+alpha*(2*eij*Q[k][j]-beta*P[i][k])
21                         Q[k][j]=Q[k][j]+alpha*(2*eij*P[i][k]-beta*Q[k][j])
22         eR=numpy.dot(P,Q)
23         e=0
24         for i in range(len(R)):
25             for j in range(len(R[i])):
26                 if R[i][j]>0:
27                     e=e+pow(R[i][j]-numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]),2)
28                     for k in range(K):
29                         e=e+(beta/2)*(pow(P[i][k],2)+pow(Q[k][j],2))
30         result.append(e)
31         if e<0.001:
32             break
33     return P,Q.T,result
34 
35 if __name__ == '__main__':
36     R=[
37         [5,3,0,1],
38         [4,0,0,1],
39         [1,1,0,5],
40         [1,0,0,4],
41         [0,1,5,4]
42     ]
43 
44     R=numpy.array(R)
45 
46     N=len(R)
47     M=len(R[0])
48     K=2
49 
50     P=numpy.random.rand(N,K) #随机生成一个 N行 K列的矩阵
51     Q=numpy.random.rand(M,K) #随机生成一个 M行 K列的矩阵
52 
53     nP,nQ,result=matrix_factorization(R,P,Q,K)
54     print("原始的评分矩阵R为：\n",R)
55     R_MF=numpy.dot(nP,nQ.T)
56     print("经过MF算法填充0处评分值后的评分矩阵R_MF为：\n",R_MF)
57 
58 #-------------损失函数的收敛曲线图---------------
59 
60     n=len(result)
61     x=range(n)
62     plt.plot(x,result,color='r',linewidth=3)
63     plt.title("Convergence curve")
64     plt.xlabel("generation")
65     plt.ylabel("loss")
66     plt.show()      

运行结果如下：

损失函数的收敛曲线图：