841. 字符串哈希

​​题目传送门​​

一、算法思路

字符串哈希 \(O(n)+O(m)\)

全称字符串前缀哈希法，把字符串变成一个\(p\)进制数字（哈希值），实现不同的字符串映射到不同的数字。并且，用\(h[N]\)记录字符串前\(N\)个字符的\(Hash\)值，类似于前缀和。

作用就是把\(O(N)\)的时间复杂度降为\(O(1)\)。比如本题就是对比任意两段内字符串是不是相同，正常就是类似于一个循环长度次的\(substr\),其实用\(hash\)差就能一步搞定！

栗子：

str="ABCABCDEYXCACWING";
h[0]=0;
h[1]="A"的Hash值;
h[2]="AB"的Hash值;
h[3]="ABC"的Hash值;
h[4]="ABCA"的Hash值;
      

对形如\(X_1X_2X_3...X_{n-1}X_n\)的字符串，采用字符 \(ASCII\)码乘上\(P\)次方来计算哈希值。

映射公式：\((X_1 \times P^{n-1} +X_2 \times P^{n-2}+...+X_{n-1}\times P^1 + X_n \times P^0) mod \ Q\)

举个栗子：

字符串\(ABCD\)，\(P=131\)

那么\(h[4]=65*131^3+66*131^2+67*131^1+68*131^0\)

而\(AB\)，\(P=131\)

说是\(h[2]=65*131^1+66*131^0\)

我们想要求"\(CD\)"的\(HASH\)值，怎么求呢？

就是 \(h[4]-h[2]*131^2\)

注意点：

1. 任意字符不可以映射成\(0\)，否则会出现不同的字符串都映射成\(0\)的情况，比如\(A\),\(AA\),\(AAA\)皆为\(0\)

2. 冲突问题：通过巧妙设置\(P\)(\(131\)或\(13331\)) ,\(Q\)(\(2^{64}\))的值，一般可以理解为不产生冲突(玄学)。

   \(Q=2^{64}\)这个取模动作在代码中没有出现过，这是因为采用了$unsinged \ long\ long $，它本身就是\(2^{64}\),如果超过了这个数字，就直接自动溢出，起到了取模的作用。

问题是比较不同区间的子串是否相同，就转化为对应的哈希值是否相同。

求一个字符串的哈希值就类似于构建一维前缀和，求一个字符串的子串哈希值就相当于一维前缀和应用:

构建： \(h[i]=h[i-1] \times P+s[i-1] \ \ \ i∈[1,n]\) \(h\)为前缀和数组，\(s[i-1]\)为字符串数组此位置字符对应的\(ASCII\)码。

应用： 查询\(l,r\)之间部分字符串的\(hash=h[r]−h[l−1]×P^{r−l+1}\)

二、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 100010; //数组上限范围
const int P = 131;    //经验,P进制
int n, m;
string str;     //字符串
ULL h[N], p[N]; //h表示某一个前缀的HASH值,h[R]表示的是前R个字母的HASH值,p代表p进制，目前是131进制

//计算部分字符串的HASH值
ULL get(int l, int r) {
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    //计算字符串前缀的HASH值，就是预处理
    cin >> n >> m >> str;

    p[0] = 1; //初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //预处理乘方
        p[i] = p[i - 1] * P;//131,131*131,131*131*131.....
        //计算前i个字符的字符串前缀hash值
        h[i] = h[i - 1] * P + str[i - 1];
    }
    //然后根据公式计算两个区间的字符串HASH值是不是相同
    while (m--) {
        int l1, r1, l2, r2;
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
        if (get(l1, r1) == get(l2, r2))puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}