压缩感知回顾与展望
在众多压感的研究中，其中各个矩阵的命名不一，这篇文章就算是对这些命名的一个统一吧，个人觉得还挺贴切。
1、N维实信号 x 的稀疏表示：
其中
叫正交基字典矩阵，
叫系数向量。
2、采用一个与正交基字典
不相关的观测矩阵
，
是一个
的扁矩阵，即，
，
的每一行可以看作一个传感器，它与系数相乘，获取了信号的部分信息。
对信号 x 执行一个压缩观测，就可以得到 M 个线性观测
，这些少量的观测中则包含了重构信号 x 的足够信息。
3、从观测向量 y 中恢复 x 是一个解线性方程组的问题，但由于
是一个未知数个数大于方程个数（
）的病态方程（M是方程个数，N是未知数个数），它有无穷多解。
但由
可知：
, 虽然从 y 中恢复
也是一个病态问题，但因为
是稀疏的，这样未知数个数大大减少，使得信号重构成为可能。
到此还是有迷惑的，到底要满足什么样的具体条件，信号重构能够实现呢？
（已经证明）：只要矩阵
中任意 2K 列都是线性独立的 ,那么至少存在一个 K-稀疏的系数向量 θ 满足
。换言之 ,在满足上述要求的情况下 ,通过求解一个非线性优化问题就能从观测 y 、观测矩阵
和字典矩阵
中近乎完美的重建信号 x。
4、压缩感知的条件：
从信号的压缩观测中实现信号的重建是需要满足一定条件的 :首先 ,对于由正交基字典矩阵
确定的表示系统 ,要满足信号在
下的稀疏性或可压缩性 ,即信号需要在变换空间下的展开系数足够的稀疏 ;其次 ,假设在表示系统中能够获得 K-稀疏的系数 , 对于由观测系统
所确定的 CS 信息算子
, 需要满足任意 2K列都是线性无关的 .在这两个条件都同时满足时 ,就可以通过求解如下问题 :
（1）
获得一个唯一的确定的解
，将它与字典相乘，就可以得到信号
.
但由于上式式一个NP-hard非凸优化问题，所以我们需要另寻方法。
由 Candès 和 Donoho 提出的
范数下的凸化压缩感知恢复框架是一个里程碑式的工作 ,它的基本思想是将式(5)的非凸的优化目标用
范数来代替 ，如下：
（2）
这就将式（1）的优化问题变成了一个凸优化问题 , 可以方便地转化为线性规划问题求解 , 因此称之为凸化的压缩感知框架 。
5、压缩感知的关键要素：
从上述数学模型可知 ,压缩感知理论的实现包含三个关键要素 :稀疏性 、非相关观测 、非线性优化重建 ,其中信号的稀疏性是压缩感知的必备条件 ,非相关观测是压缩感知的关键 ,非线性优化是压缩感知重建信号的手段 。
信号的稀疏性是压缩感知理论的一个重要前提 ,并且直接影响着信号感知的效率。
附上两张手写图：