向量包括n维向量及其运算、向量间的线性关系、线性相关线性无关、向量组的秩。跟着宋浩老师的视频复习，前几个知识点还能弄懂原理，在学习向量组的秩时因为涉及到初等变换、矩阵的秩等内容了，导致学习起来有些知识点听不懂，看来数学学习不能"偷工减料"，下次要将初等变换、矩阵的秩等内容也补齐。
n维向量及其运算
①n个数a1 ... an组成的有序数组(a1,a2,...an)是向量
②数组中的a1,a2...是分量
③默认行向量
④分量全是0的向量记做0向量
⑤两个向量相等的前提条件是同维向量
⑥延伸复习内容：矩阵相等的前提条件是同行矩阵
⑦延伸复习内容：矩阵秩的定义-不为零的子式最大阶数
向量间的线性关系
用两个向量表示一个向量，就叫做线性组合
线性组合
线性组合：B，a1，a2...an是m维向量。若存在k1,k2,kn，使B=k1a1+k2a2+...+knan就叫B是a向量组的线性组合或者B是向量组的线性表示。k1称作线性表示系数，可以全取0
线性组合特性：
①零向量可由任意向量表示
0 = 0*a1 + 0*a2 + ... + 0*an
②向量组中任一向量可由向量组表示
a3 = 0*a1 + 0*a2 + 1*a3 + 0*a4
③n维基本单位向量组。任意向量可由= (1,0,...0)，= (0,1,0,...0), ... = (0,...0,1)表示。
例：(1,2,3) = 1*(1,0,0) + 2*(0,1,0) + 3*(0,0,1)
看一个向量组合的例子，体会下向量、线性组合、向量组的线性表示、线性表示系数:
向量计算
向量组的等价
a1...am B1...Bn 是同维向量组
两个向量组可以相互线性表示
相互表示：{a1...am} {B1...Bn}
向量组等价的特性：
①反身性：{a1...am} {a1...am}
向量组等价其本身
②对称性：{a1...am} {B1...Bn}
得{B1...Bn}{a1...am}
③{a1...am} {B1...Bn}
{B1...Bn} {...}
得：{a1...am} {...}
a1...an是n个m维向量，若存在一组不全为0 得k1...kn，k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0 (*)，
则a1...an是线性相关
线性无关的定义： ①不是线性相关 ②找不到一组不全为0的k1...kn值使(*)成立③(*)成立，k1...kn必全为0
线性相关与无关的特性：
1）向量组中两向量成比例，即为线性相关。
两向量成比例，既为线性相关
2）含零向量的任一向量组必线性相关
例：0*a1 + 0*a2 + 0*a3 + 1*0 = 0
3)一个零向量必线性相关 例：1 * 0 = 0
4)一个非零向量必线性无关 例：a≠0 ka=0 k=0
5)一个向量a线性相关 a=0
例：a1...ar向量组合线性相关，证明a1...ar...ar+1...as线性相关
证明：设a1，a2，a3线性相关，
∵ a1 a2 a3线性相关 ∴ 存在不全为0的k1 k2 k3
k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0
k1a1 + k2a2 + k3a3 + 0a4 + 0a5 = 0
k1 k2 k3 0 0不全为0 ∴a1 ... a5线性相关
即 a1 ... ar ... ar+1 ... as线性相关
由以上例题可推出命题：①部分向量组线性相关，它的整体向量组线性相关②线性相关的向量组，截断的向量组也线性相关
逆否命题：①部分向量组线性无关，它的整体向量组线性无关②线性无关的向量组，它的截长向量组也线性无关
看一个线性无关的证明题：a,B,无关,证明a+B B+ a+无关
设k1 k2 k3 k1(a+B) + k2(B+) + k3(a+) = 0
(k1+k3)a + (k1+k2)B + (k2+k3) = 0
∵ a B 是线性无关，∴ 线性表示系数 k1+k3=0 k1+k2=0 k2+k3=0
最后推出两个特性：
线性相关 非零解
线性无关 只有零解
线性相关线性无关
接下来线性相关线性无关用定理来推导证明
定理：
1）a1...as向量组线性相关 至少一个向量可由其余向量表示
正向推导： ∵ a1...as线性相关，设不全为0的线性表示系数k1...ks
k1a1+...+ksas = 0 假设k1≠0
a1 = - k2a2/k1 ... -ksas/k1
反向推导：设a1 = m1a2+...+ms-1as -a1+m1a2+...+ms-1as=0
∴a1的线性表示系数是-1，m1...ms-1可为0，存在一组不全为0的线性表示系数，即向量组的线性表示复合线性相关的要求。∴a1...as向量组是线性相关
2）a1...as向量组线性无关，a1...as B向量组线性无关 证明：B可由a1...as唯一表示
证明：∵a1...as B是向量组合线性相关 ∴存在不全为0的k1...ks+1
k1a1+...+ksas+ks+1B=0
∵ a1...as向量组线性无关，a1...as B向量组线性无关
∴ k1+...+ks=0，ks+1≠0
即B = -k1a1/ks+1 ...-ksas/ks+1 ∴B可由a1...as表示
继续证明B可由a1...as唯一表示
B = m1a1 + ... + msas
B = n1a1 + ... + nsas
(m1-n1)a1 + ... + (ms-ns)as = 0
∵ a1...as向量组线性无关 ∴ m1-n1=0 ... ms-ns=0
m1=n1 ... ms=ns
即B可由a1...as唯一表示
3）替换 a1...as线性无关，可由B1...Bt表示，则s t
a1...as可由B1...Bt表示 s ＞t 则a1...as线性相关
m ＞n m个n维向量线性相关 (向量个数＞向量维数)
n+1个n维向量 得到线性相关
向量组的秩
学到向量组的秩，因为牵扯到初等变换、矩阵的秩等知识点，理解起来就有些困难了.先把初等变换和矩阵的秩学习完，再补充向量组的秩。
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