【概率与期望】[CodeForces - 621C]Wet Shark and Flowers

题目大意

有n个鲨鱼围成一圈，每个鲨鱼有一个写着数字的花，第i个鲨鱼的数字在[ l i , r i l_i,r_i li​,ri​]区间等概率选取，如果有相邻的两个鲨鱼数字的乘积是p的倍数，那Wet Shark就会给他们每人1000元。

分析

样本空间的大小为 S = ∏ i = 1 n ( r i − l i + 1 ) S=\prod_{i=1}^{n}(r_i-l_i+1) S=i=1∏n​(ri​−li​+1)

每种情况是等概率出现的，只需要将所有情况的Wet Shark需要付的钱加起来除以S即可。

然而，显然直接不能这样做，我们考虑优化。

令第i只鲨鱼的取值中有 n p i np_i npi​个数字被p整除。

n p i = ⌊ r i p ⌋ − ⌊ l i − 1 p ⌋ np_i=\lfloor\frac{r_i}{p}\rfloor-\lfloor\frac{l_i-1}{p}\rfloor npi​=⌊pri​​⌋−⌊pli​−1​⌋

考虑第i只和i+1只鲨鱼，如果第i只鲨鱼的数字整除p的，那无论第i+1只鲨鱼取什么数字，积都可以被整除。

如果第i只鲨鱼的数字不能被p整除，那么只有当第i+1只鲨鱼取质数时积才能被p整除。

也就是这两只鲨鱼对答案的贡献 G i = 2000 ∗ ( n p i ∗ ( r i + 1 − l i + 1 + 1 ) + ( r i − l i + 1 − n p i ) ∗ n p i + 1 ) ∗ ∏ j = 1 且 j ≠ i , i + 1 n ( r j − l j + 1 ) S = 2000 ∗ ( n p i ∗ ( r i + 1 − l i + 1 + 1 ) + ( r i − l i + 1 − n p i ) ∗ n p i + 1 ) ∗ ∏ j = 1 且 j ≠ i , i + 1 n ( r j − l j + 1 ) ∏ j = 1 n ( r j − l j + 1 ) = 2000 ∗ ( n p i ∗ ( r i + 1 − l i + 1 + 1 ) + ( r i − l i + 1 − n p i ) ∗ n p i + 1 ) ( r i − l i + 1 ) ∗ ( r i + 1 − l i + 1 + 1 ) G_i=\frac{2000*(np_i*(r_{i+1}-l_{i+1}+1)+(r_i-l_i+1-np_i)*np_{i+1})*\prod_{j=1且j\neq i,i+1}^{n}(r_j-l_j+1)}{S}\\=\frac{2000*(np_i*(r_{i+1}-l_{i+1}+1)+(r_i-l_i+1-np_i)*np_{i+1})*\prod_{j=1且j\neq i,i+1}^{n}(r_j-l_j+1)}{\prod_{j=1}^{n}(r_j-l_j+1)}\\=\frac{2000*(np_i*(r_{i+1}-l_{i+1}+1)+(r_i-l_i+1-np_i)*np_{i+1})}{(r_i-l_i+1)*(r_{i+1}-l_{i+1}+1)} Gi​=S2000∗(npi​∗(ri+1​−li+1​+1)+(ri​−li​+1−npi​)∗npi+1​)∗∏j=1且j̸​=i,i+1n​(rj​−lj​+1)​=∏j=1n​(rj​−lj​+1)2000∗(npi​∗(ri+1​−li+1​+1)+(ri​−li​+1−npi​)∗npi+1​)∗∏j=1且j̸​=i,i+1n​(rj​−lj​+1)​=(ri​−li​+1)∗(ri+1​−li+1​+1)2000∗(npi​∗(ri+1​−li+1​+1)+(ri​−li​+1−npi​)∗npi+1​)​

根据这个公式算出答案即可。

注意：1和n也是相邻的。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100000
int n,p,l[MAXN+10],r[MAXN+10],np[MAXN+10];
double ans;
void Read(int &x){
	char c;
	while(c=getchar(),c!=EOF)
		if(c>='0'&&c<='9'){
			x=c-'0';
			while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
				x=x*10+c-'0';
			ungetc(c,stdin);
			return;
		}
}
void read(){
	Read(n),Read(p);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		Read(l[i]),Read(r[i]);
		np[i]=r[i]/p-(l[i]-1)/p;
	}
}
void solve(){
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		ans+=(1.0*np[i]*(r[i%n+1]-l[i%n+1]+1)+1.0*(r[i]-l[i]+1-np[i])*np[i%n+1])/(r[i]-l[i]+1)*2000/(r[i%n+1]-l[i%n+1]+1);
}	
int main()
{
	read();
	solve();
	printf("%.7lf",ans);
}