目录
映射（点到点）
拉回映射
推前映射
协变矢量和逆变矢量
切空间
切空间的矢量是协变矢量
余切空间
余切空间的矢量是逆变矢量
映射（点到点）
设
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 与
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 是两个流形，映射
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 是光滑映射，它将
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上的点映射到
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上。
拉回映射
设在流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上有一函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ;
在流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上有一点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，映射
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 将它映射到流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上的点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 在点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 处的值为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，在流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上定义一个函数，使其在点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 处的值等于
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，由于这个过程类似把函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 从流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 拉回到流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上，所以定义拉回映射
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 为：
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 或简写为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 即流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上的函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 在点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的值等于流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上的函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 在点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的值，
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 叫做
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的拉回。
推前映射
类似于拉回映射，可以定义推前映射
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ：
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 用于定义推前映射和拉回映射的函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，实际上确定了两个流形上的等价关系，或者说函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的值在映射
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 下是不变量。
协变矢量和逆变矢量
设流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 在它的坐标卡下为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 在它的坐标卡下为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ,流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上有一函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，把它推前映射到流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 是
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，那么有：
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 此式对
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 求偏导得到：
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 若一个矢量在从点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 处到点
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 处的变换规律与矢量
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的变换规律相同，则称为协变矢量，反之称为逆变矢量。
切空间
设有一个定义在流形
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 上的函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ；
在欧氏空间中，若在某点处给定一个矢量，就可以求出函数在此点的方向导数，仿照这一点，定义流形上一点处的切矢量（坐标卡为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ）:
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 当它作用在函数上：
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 就得到了“方向导数”
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，加引号是因为此处的矢量
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 并不一定是单位矢量，因此不仅仅代表某个方向，和原来方向导数的定义并不完全相同。
在流形上某点处以
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 为基，得到一个线性空间
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，称为此点处的切空间。
切空间的矢量是协变矢量
设确定了两个流形间的等价关系的函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的集合为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，那么可以将切空间的中的矢量视为函数
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，将
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 的推前记为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，由于
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 而且
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，所以
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 根据定义，切矢量的基是协变矢量，而切矢量是它的基的线性组合，因此切矢量是协变矢量。
也即
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，其中
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 和
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 是矢量的分量。
余切空间
余切空间是切空间的对偶空间，设它的基为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，那么有
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 余切空间的矢量是逆变矢量
因为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 又
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 相减得
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ，因为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 是任意的，所以有
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 可以看到，余切空间中的基和切空间中的基的变换规律相反，因此余切矢量是逆变矢量。
因为
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 ,而且
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 是不变量，所以
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 与
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 对偶，所以余切空间的基
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 就是
流形间的映射（拉回映射与推前映射）及根据其定义的协变矢量和逆变矢量；切空间与余切空间映射（点到点）拉回映射推前映射协变矢量和逆变矢量切空间余切空间总结 。
总结
流形间映射过程中有不变量，利用不变量在两个流形上的偏导数的变换规律定义了切空间与余切空间，因此切空间与余切空间的本质来源就是两个流形之间的不变量。
切空间的矢量是协变矢量，变换规律与不变量对坐标的偏导相同；余切空间的矢量是逆变矢量，变换规律与不变量对坐标的偏导相反。
