当集合a为空集时a的取值范围_集合|集合中易错问题详解及失误防范

集合是大家进入高中后第一个碰到的章节，不知多少童鞋被它虐的怀疑人生，总有那么几个问题已经成了心中的魔障。事实上，在集合章节，大家常错的问题无非就是下面几类，洛洛老师带大家趟趟雷！

1、忽视集合元素互异性

例1、设

，求A中所有元素之和S.

【错解】原方程即

，故

，所以

.

【错因】忽略了方程的两根相等的情况，当方程两根相等，集合A是个单元素集！S不能将两相等的根相加！这个问题甚至在某搜题中的答案都是错的，大家在搜题的时候还是要带着自己的思考啊！集合套路深！

【正解】原方程即

，所以方程两根为

①当

，

，此时S=-1.

②当

，

，此时S=-(b+2).

2、忽视交、并、补运算中元素的检验

例2、设全集

，

，

，求a的值。

【错解】由题意知

，解得

，经检验均满足A集合元素互异性，所以

.

【错因】一说到集合元素需要检验，童鞋们脑海里似乎只意识到要检验元素互异性，事实上，在集合交、并、补运算中，不仅要检验元素互异性，还需要检验集合运算是否符合题意！本题中当a=-4，A={9,2}，已经不是全集U的子集了.

【正解】由题意知

，解得

，当a=-4时，A={9,2}，U={2,3,5}，此时A不是全集U的子集，故舍去.所以a=2.

3、对集合表示方法的理解存在偏差

例3、已知

，

求

.

【错解】即求函数

和函数

的交点坐标，联立方程得

方程组无解，所以

【错因】本道题之所以出错，是没有理解集合的表示方法。当集合使用描述法表示时，“|”前表示的是研究对象的内容，后面表示的是研究对象所具有的特征，本题中“|”前为y，表示数集，若“|”前为(x,y)则表示点集，所以本题中

的意义并非求两个函数的交点，而是求两个函数值域的交集.

【正解】对于A集合，有

，故

，

对于B集合，有

，故

.

所以，

.

4、忽略空集引起的错误

例4、已知集合

，若

，求实数m的值．

【错解】由题意得

，因为

，所以将-3,2代入B集合方程得

解得     

【错因】我们知道，空集是任何集合的子集，所以上述求解中忽略了B为空集的可能，导致了错误，所以类似这一种集合包含问题，讨论点应从A的子集出发，可避免忽略B为空集的情况。同时我们也要清楚，对于一次方程

，当

时方程有唯一解；当

且

时方程无解；当

且

时方程有无穷解。(

知识点啊！)所以B集合完全可以为空集.

【正解】由题意得

，B是A的真子集，故

①当

时，

，得

②当

时，

，得

③当

时，

综上所述，

.

例5、已知

且

求m的取值范围。

【错解】由

结合数轴

得

解得

【错因】由于集合B两端点含有参数，且两端点大小无法确定，故集合B可能为空集，错解中其实已经将集合B当做非空集求解，导致错误。

【正解】

①当

即

时，

，此时

满足题意.

②当

即

时，结合数轴

得

解得

结合分类条件得

综上所述，由①②得m的取值范围是

5、忽视二次项系数

例6、集合

是单元素集，求a的值。

【错解】集合A是单元素集，故二次方程

有两个相等实根，所以有

解得

【错因】当二次项系数a=0时，方程为一次方程，有一个实根，此时集合A也为单元素集，所以提醒童鞋们，但凡在使用判别式之前一定要留意二项式系数是否可能为0.

【正解】由题意

①当

时，

为单元素集，满足题意。

②当

时，A为单元素集，则二次方程

有两个相等实根，所以有

解得

综上所述，

.

当然，集合问题中容易引起失误的地方比较多，大家还是要养成思维严谨的习惯，回过头多思考一点，这些问题时很容易避开的.

- End -