n 阶贝塞尔曲线计算公式实现
关于贝塞尔曲线是什么，可以用来做什么，这里就不再介绍，如果你还不了解，可以先去看看下面这篇文章：贝塞尔曲线扫盲
1. 效果参考
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2. 思路解析
百度百科上给出的一般参数公式是这样的：
给定点 P0,P1,P2, … ,Pn，其贝塞尔曲线公式如下（即贝塞尔曲线上的点 B(t) 可由如下公式计算得到）：
可以看出其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键：
该表达式可分为四个部分看：
- 从 i 递增到 n 的常数部分
- Pi 坐标部分
- (1 - t)^(n - i)
-
t^i
可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)
如果直接从上面的公式上找规律比较抽象，那就从具体的例子中找规律吧：
设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2..Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式:
如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。
- N = 3: P = (1-t)^2*P0 + 2*(1-t)*t*P1 + t^2*P2
- N = 4: P = (1-t)^3*P0 + 3*(1-t)^2*t*P1 + 3(1-t)*t^2*P2 + t^3*P3
- N = 5: P = (1-t)^4*P0 + 4*(1-t)^3*t*P1 + 6(1-t)^2*t^2*P2 + 4*(1-t)*t^3*P3 + t^4*P4
将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示：
设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式：
a * (1 - t)^b * t^c * Pn;
分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值：
如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 (1-t)^2*P0，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0
-
N = 3: 1,2,0 2,1,1 1,0,2
a: 1 2 1
b: 2 1 0
c: 0 1 2
-
N = 4: 1,3,0 3,2,1 3,1,2 1,0,3
a: 1 3 3 1
b: 3 2 1 0
c: 0 1 2 3
-
N = 5: 1,4,0 4,3,1 6,2,2 4,1,3 1,0,4
a: 1 4 6 4 1
b: 4 3 2 1 0
c: 0 1 2 3 4
根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：
- b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
- c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
-
a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：
N=1:———1
N=2:——–1 1
N=3:——1 2 1
N=4:—–1 3 3 1
N=5:—1 4 6 4 1
a 值的改变规则为： 杨辉三角
3. 使用 java 来实现
接下来就实现它：先再来一个例子
比如计算控制点坐标分别为：P0(3,8)，P1(2,3)，P2(2,7)，想要返回 10 个在贝塞尔曲线上的点，用 java 可以这样写：
float[] p0 = {, };
float[] p1 = {, };
float[] p2 = {, };
float[][] result = new float[][];
for (int i = ; i < ; i++) {
float t = i / ;
result[i][] = (float) ( * Math.pow( - t, ) * Math.pow(t, ) * p0[] + * Math.pow( - t, ) * Math.pow(t, ) * p1[] + * Math.pow( - t, ) * Math.pow(t, ) * p2[]);
result[i][] = (float) ( * Math.pow( - t, ) * Math.pow(t, ) * p0[] + * Math.pow( - t, ) * Math.pow(t, ) * p1[] + * Math.pow( - t, ) * Math.pow(t, ) * p2[]);
}
好了，最后的计算方法是下面这个：
/**
* @param poss 贝塞尔曲线控制点坐标
* @param precision 精度，需要计算的该条贝塞尔曲线上的点的数目
* @return 该条贝塞尔曲线上的点（二维坐标）
*/
public float[][] calculate(float[][] poss, int precision) {
//维度，坐标轴数（二维坐标，三维坐标...）
int dimersion = poss[].length;
//贝塞尔曲线控制点数（阶数）
int number = poss.length;
//控制点数不小于 2 ，至少为二维坐标系
if (number < || dimersion < )
return null;
float[][] result = new float[precision][dimersion];
//计算杨辉三角
int[] mi = new int[number];
mi[] = mi[] = ;
for (int i = ; i <= number; i++) {
int[] t = new int[i - ];
for (int j = ; j < t.length; j++) {
t[j] = mi[j];
}
mi[] = mi[i - ] = ;
for (int j = ; j < i - ; j++) {
mi[j + ] = t[j] + t[j + ];
}
}
//计算坐标点
for (int i = ; i < precision; i++) {
float t = (float) i / precision;
for (int j = ; j < dimersion; j++) {
float temp = f;
for (int k = ; k < number; k++) {
temp += Math.pow( - t, number - k - ) * poss[k][j] * Math.pow(t, k) * mi[k];
}
result[i][j] = temp;
}
}
return result;
}
在 android 中继承 View 然后重写 onDraw 方法，在 Activity 绑定的布局文件中加入该自定义 View ，调用 calculate 方法就可以画出来任意阶的贝塞尔曲线啦。
........
// calculate 方法在 BezierImpl 中实现
private BezierImpl bezier = new BezierImpl();
private Paint paint = new Paint();
float[][] poss = {
{f, f},
{f, f},
{f, f},
{f, f},
{f, f},
{f, f},
{f, f},
{f, f},
{f, f}
};
@Override
protected void onDraw(Canvas canvas) {
float x0, y0, x, y;
paint.setColor(Color.DKGRAY);
paint.setStrokeWidth(f);
x0 = poss[][];
y0 = poss[][];
for (int i = ; i < poss.length; i++) {
x = poss[i][];
y = poss[i][];
canvas.drawLine(x0, y0, x, y, paint);
x0 = x;
y0 = y;
}
paint.setColor(Color.RED);
paint.setStrokeWidth(f);
float[][] po = bezier.calculate(poss, );
x0 = po[][];
y0 = po[][];
for (int i = ; i < ; i++) {
x = po[i][];
y = po[i][];
canvas.drawLine(x0, y0, x, y, paint);
x0 = x;
y0 = y;
}
}
...........
最后贴一个最近在做的一个自定义 View（GummyView），使用了到了贝塞尔曲线，用了上面的方法，有兴趣的话可以 Fork 或给我留言 >.<。
地址：DuanJiaNing/GummyView
目前实现的效果是这样的：
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