卫星轨迹
一．问题提出
设卫星在空中运行的运动方程为：
d2rkd 2 r() 22 dtrdt 2 d 2drd
rdtdt dt2
其中是k重力系数(k=401408km3/s)。卫星轨道采用极坐标表示，通过仿真，研究发射速度对卫星轨道的影响。实验将作出卫星在地球表面(r=6400KM，θ=0)分别以v=8KM/s,v=10KM/s, v=12KM/s发射时，卫星绕地球运行的轨迹。
二．问题分析
1．卫星运动方程一个二阶微分方程组，应用Matlab的常微分方程求解命令ode45求解时，首先需要将二阶微分方程组转换成一阶微分方程组。若设 y ( 1 ) r , y ( 2 ) ，则有：
dy(1) dt y(3)
dy(2) y(4) dt dy(3)k y(1) y(4) y(4)dty(1) y(1) dy(4) 2 y(3) y(4)/y(1) dt
2．建立极坐标如上图所示，初值分别为：卫星径向初始位置，即地球半径：y(1,1)=6400；卫星初始角度位置：y(2,1)=0；卫星初始径向线速度：y(3,1)=0；卫星初始周向角速度：y(4,1)=v/6400。
3．将上述一阶微分方程及其初值带入常微分方程求解命令ode45求解，可得到一定时间间隔的卫星的径向坐标值y(1)向量；周向角度坐标值y(2)向量；径向线速度y(3)向量；周向角速度y(4)向量。
4．通过以上步骤所求得的是极坐标下的解，若需要在直角坐标系下绘制卫星的运动轨迹，还需要进行坐标变换，将径向坐标值y(1)向量；周向角度坐标值y(2)向量通过以下方程转换为直角坐标下的横纵坐标值X,Y。
X y(1) cos[y
(2)] Y y(1) sin[y(2)]
5．卫星发射速度速度的不同 将导致卫星的运动轨迹不同，实验将绘制卫星分别以v=8KM/s ，v=10KM/s，v=12KM/s的初速度发射的运动轨迹。
三．Matlab程序及注释
1．主程序
v=input('请输入卫星发射速度单位Km/s：\nv='); %卫星发射速度输入。
axis([-26400 7000 -10000 42400 ]); %定制图形输出坐标范围。
%为了直观表达卫星轨迹，以下语句将绘制三维地球。
[x1,y1,z1]=sphere(15); %绘制单位球。
x1=x1*6400; y1=y1*6400;