【剑指Offer】剪绳子

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题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入描述:

输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）

输出描述:

输出答案。

示例1

输入

  8

输出

  18

解题思路：

先举几个例子，可以看出规律来。

4 ： 2 * 2

5 ： 2 * 3

6 ： 3 * 3

7 ： 2 * 2 * 3 或者4 * 3

8 ： 2 * 3 * 3

9 ： 3 * 3 * 3

10：2 * 2 * 3 * 3 或者4 * 3 * 3

11：2 * 3 * 3 * 3

12：3 * 3 * 3 * 3

13：2 * 2 * 3 * 3 * 3 或者4 * 3 * 3 * 3

• 首先判断k[0]到k[m]可能有哪些数字，实际上只可能是2或者3。 当然也可能有4，但是4=2*2，我们就简单些不考虑了。
• 5<23,6<33,比6更大的数字我们就更不用考虑了，肯定要继续分。
• 其次看2和3的数量，2的数量肯定小于3个，为什么呢？因为222<3*3，那么题目就简了。
• 直接用n除以3，根据得到的余数判断是一个2还是两个2还是没有2就行了。
• 由于题目规定m>1，所以2只能是11，3只能是21，这两个特殊情况直接返回就行了。
• 乘方运算的复杂度为：O(log n)，用动态规划来做会耗时比较多。

解题方法一：贪心算法

/**
     * 当target大于3时,每次都可以分为2*3
     * 5<2*3,6<3*3,比6更大的数字我们就更不用考虑了
     * 其次看2和3的数量，2的数量肯定小于3个，为什么呢？因为2*2*2<3*3
     * 直接用n除以3，根据得到的余数判断是一个2还是两个2还是没有2就行了
     * 时间复杂度 : O(N^N) , 空间复杂度 ： O(N)
     * @param target
     * @return
     */
    public int cutRope(int target) {

        if(target == 2){
            return 1;
        }

        if (target == 3){
            return 2;
        }

        int x = target % 3;
        int y = target / 3;

        if(x == 0){
            return (int) Math.pow(3 , y);
        }else if(x == 1){
            return 2 * 2 * (int) Math.pow(3 , y - 1);
        }else{
            return 2 * (int) Math.pow(3 , y);
        }
    }
           

复杂度：

• 时间复杂度 : O(1)
• 空间复杂度 ： O(1)

解题方法二：动态规划

/**
     * dp求解
     * 时间复杂度 : O(N^N) , 空间复杂度 ： O(N)
     * @param target
     * @return
     */
    public int cutRope1(int target) {

        if (target == 2){
            return 1;
        }

        if (target == 3){
            return 2;
        }

        int[] dp = new int[target + 1];

        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i < target; i++) {
            for (int j = i; j <= target; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j] , dp[j - i] * i);
            }
            
        }

        return dp[target];
    }
           

复杂度：

• 时间复杂度 : O(N^N)
• 空间复杂度 ： O(N)

  

代码地址：

https://github.com/HanYLun/jianzhiOffer/blob/master/Solution/src/Que67.java

文章为DavidHan原创,如果文章有错的地方欢迎指正，大家互相交流。