定理： 如果一个局面先手必胜，就称之为 N 局面，反之称之为 P 局面。对于一个局面，令 S=P 1 XOR P 2 XOR P 3 XOR … XOR P n 。若 S=0 则为 P 局面，否则为 N 局面。 证明： 1. 当 P 1 =P 2 = … .=P n =0 时， S=0 ，满足终状态是 P 局面。 2. 若 S=0 ，即 P 1 XOR … XOR P n =0 ，若取堆 i 中的石子， P i >P i ’ ， S ->S ’ ， P i >P i ’ ，则 P i XOR P i ’ <>0 。所以 S ’ XOR P i XOR P i ’ =S=0 ，即 S ’ =P i XOR P i ’ <>0 。满足 P 局面的所有子局面都 是 N 局面。 3. 若 S<>0 ，设 S 的二进制位是 A 1 … A n ，考虑第一位是 1 的。在 P 中取出该位同是 1 的，不妨 设为 P 1 。可知 P 1 XOR S<P1 ，令 P 1 ’ =P 1 XOR S 。可知 P 1 ’ XOR P 2 XOR … XOR P n =0 。即 N 局面存在至少一个子局面是 P 局面。