三个小伙子决斗的问题

问题：

三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。A的命中率是30％，B比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是C，他从不失误，命中率是100％。为公平起见，他们决定按这样的顺序：A先开枪，B第二，C最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？

分析：

1）A、B要是一直不能命中C，只要两轮，他们两个都死；A要想活，就要至少争取轮不到C开第二枪；

2）第一轮结束的时候，A和B为了自保肯定先针对C，所以不是B死就是C死，A很有可能活着；但是A肯定希望活着的是B，B能活说明A或者B第一枪已经命中C，因为如果A跟B都没杀死C，C肯定先杀死B。因此原则上A会帮着B打C；

3）不过A考虑万一他第一枪把C打死了，B下一个开枪，肯定对象是他；即使B第一枪打不中他，轮到A开第二枪，而以A自己30%的命中率，不大可能连续两枪都命中的，所以这一枪很可能失误，下一次轮到B的时候，第二枪干掉他的可能性很大。

总结：

为了争取最大的生存可能，A希望第一轮C倒下，但并不是他开的枪，因此第一枪很可能会考虑放弃，这样虽然坑了B，但是增大了自己的生存机会，是弱者为求自保不去招惹强者的做法。

详细讨论：

先考虑双人决斗

a）AB决斗：

A存活的几率：Na=30%+(70%x50%x30%)+(70%x50%x70%x50%x30%)+...=30%x(1+a+a^2+...) =30%x1/(1-35%)=30%/65%≈0.462

B存活的几率：

Nb≈0.538

b）AC决斗

Na=30%

Nc=70%

c)BC决斗

Nb=50%

Nc=50%

分情况解答：

情况一：

如果A第一枪打C

A活的可能性组合：

1）A枪杀C，B失误未杀死A，AB决斗最终A活的几率：30%x50%x30%/65%≈0.069

2）A未杀掉C，B杀了C，AB决斗最终A活的几率：70%x50%x30%/65%≈0.162

3）AB均未杀掉C，C杀了B，AC决斗A活的几率：70%x50%x30%=0.105

Na≈0.336

B活的可能性组合：

1)A枪杀C，B杀死A: 30%x50%=0.15

2)A枪杀C，B失误未杀死A，AB决斗B活的几率：30%x50%x35%/65%≈0.081

3)A失误未杀掉C，B杀了C，AB决斗B活的几率：70%x50%x35%/65%≈0.188

Nb≈0.419

C活的可能性：AB均失误，C杀B，AC决斗C活的几率: Nc=70%x50%x70%=0.245

如果A第一枪打C，B生存的机会最大

情况二：

如果A第一枪放弃

A存活的可能性组合：

1）B杀了C，AB决斗最终A活的几率：50%x30%/65%≈0.231

2）B未杀掉C，C杀了B，AC决斗A活的几率：50%x30%=0.15

Na≈0.381

B活的可能性：B杀掉C，AB决斗B活的几率：Nb=50%x35%/65%≈0.269

C活的可能性：B失误未杀掉C，C杀B，AC决斗C活的几率: Nc=50%x70%=0.35

综上：

如果A第一枪放空枪，A生存的机会最大，而且存活概率大于选择第一枪打C的的存活概率。

结论：

如果A第一枪放空枪，A的生存机会会最大；如果选择第一枪帮B打C，则B的生存机会最大。