【线性系统】五、稳定性

线性系统总能被分解成零输入响应和零状态响应。通常我们分开来研究这两种响应的稳定性。

对于零状态响应（zero state），我们有BIBO(bounded-input bounded-output)稳定。

对于零输入响应（zero input），我们有边缘稳定(marginal)和近似稳定(asymptotic)。

BIBO稳定

一个SISO LTI 因果系统可被表示为：（初始状态

下relaxed）

（1）

其中

为脉冲响应。

BIBO稳定： 对于零状态响应，所有有界输入都会变成有界输出。

定理一：

一个SISO系统被描述为BIBO稳定，当且仅当

在

为绝对可积的，或者：

定理二：

如果系统响应

是BIBO稳定的，那么当

:

1. 输入为

 产生的输出，对所有

接近

;

2.输入为

产生的输出，对所有的

接近 

，

其中

是

的拉普拉斯变换， 

。

定理三：

一个有有理转移函数

SISO系统是BIBO 稳定当且仅当

的每个极点有负实部或者在左半

平面。

例一：

一个正反馈系统的脉冲响应为

，

可以为正或负。我们有：

且

推广：

• 多变量系统；

定理一：每个脉冲响应在 

 都绝对可积.

定理三：

的每个极点有负实部或者在左半

平面。

例二：

有状态方程：

，

转移函数：

所以它是BIBO稳定。

• 离散系统：

一个SISO系统被描述为：

定理一：一个离散系统当且仅当 

 在 

 绝对可加或者存在常数 

 使 

成立。

定理二：如果脉冲响应序列

是BIBO稳定的，那么当

:

1. 输入为

 产生的输出，对所有

接近

;

2.输入为

产生的输出，对所有的

接近 

，

这里

是

的z变换，

定理三：具有有理转系函数

的离散SISO系统，当且仅当

的每个极点的大小都小于1时BIBO稳定。

例三：

离散LTI系统，

，and 

,

所以这个系统不是BIBO的。

• MIMO离散系统

定理一：脉冲响应序列的绝对可加性；

定理三：脉冲响应序列的极点大小小于1。

零输入响应的稳定性

零输入系统 

 ，初始状态为 

 。

等式的解为

。

定义：一个零输入系统或像 

 的等式边缘稳定，如果每个有限初始状态 

 激励出一个有界的响应。一个零输入系统近似稳定如果每个有限初始状态激励出有界响应，并且响应在

时接近于0。

定理：

1. 等式 

 边缘稳定当且仅当

的所有特征值有零或负实部，且特征值为A的最小多项式的简单根；

2. 等式 

 近似稳定当且仅当

的所有特征值都有负实部，且特征值为A的最小多项式的简单根。

推广到离散系统的定理：

1. 等式 

 边缘稳定当且仅当

的所有特征值的幅值小于或等于1，且特征值为A的最小多项式的简单根；

2. 等式 

 近似稳定当且仅当

的所有特征值的幅值小于1，且特征值为A的最小多项式的简单根。

李雅普诺夫理论