有限元（FEM) 、有限差分(FDM)和有限体积（FVM) 的优势和劣势

前言: 偏微分方程的类型

偏微分方程(组)可以把它的算子提出来, 构成算子代数方程(组). 然后根据算子代数方程(组)的特征值来区分是椭圆的, 双曲的, 还是抛物型的.具体可以翻看各类数学物理方程或者偏微分方程的教材, 一般前两章必讲.

工程中碰到的椭圆方程(组)有

• 弹性力学中的各种方程组, 几乎都是椭圆的
• 热传导方程, 如果不含时间项(定常)

工程中碰到的纯双曲方程不多, 各种波动方程一般都是双曲的

• 声波传导, 各类波动方程, 只能在教科书的例子中见到

工程中的纯抛物问题也不多, 各种发展类型的物理问题大多数是抛物型的,比如

• 非定常热传导(纯抛物型的)

下面我们要说一些nb的方程了, 多类型混合的, 上面已经说了, 工程界碰到的纯粹抛物和纯粹双曲的都不多, 而且单类型的方程都不是被人搞出解析解了, 就是用数值方法解决的很好了.

抛物型最容易和其他两种结合搞出难以求解的方程, 比如

• 弱可压缩流体(比如亚声速燃烧, 风场等), 椭圆-抛物方程, 因为抛去时间项后, 体现为椭圆方程的特征, 这种一般好求解
• 各类液体流动方程, 同上

双曲-抛物型方程比较nb, 我们专门说

• 空气动力学方程组, 波澜壮阔如雷贯耳, 典型的双曲-抛物型.  你就算抛去时间项, 还是双曲型的. 双曲已经很难搞, 叠加一个抛物属性, 有多难随便你想.
• 电磁学Maxwell方程组, 特征速度就是光速, CFL条件你要怎么提?

双曲型方程是可以搞出间断的, 在空气动力学中就是激波, 所以含有双曲属性的工业问题, 在学术界都是老大难.

三类方法的优缺点

有限元(Finite Element Method)

椭圆方程适合用有限元，当然椭圆方程用什么都可以，只不过有限元方法之于椭圆方程就好比青椒对瘦肉，绝配。那些求解结构强度, 结构动响应的 都用有限元.前面说了, 这些问题大多都是椭圆型方程, 就算是带了非定常时间项, 也可以用各类方法把时间项折叠(folding)到空间项中, 用有限元方法求解. 椭圆方程中没有间断, 怎么折腾都可以. 你们用到的ansys, abaqus核心求解器都是典型的有限元方法.

有限差分(Finite Difference Method)

有限差分百搭，解什么都可以，只不过有限差分大多要求结构网格，一般学术研究中用得多。

有限差分还有个不大不小的优势，就是能利用结构网格的拓扑优势轻松扩大模板，构造出高精度格式。

电磁学领域有些软件会用FDTD(时域有限差分)方法, 个人见过的为数不多的在工业软件领域采用差分的例子

有限体积法(Finite Volume Method)

有限体积法就比较强大了。除了高精度构造略微麻烦，几乎通吃有限差分所有领域，双曲性、抛物型、椭圆形都可以。当然对于椭圆形方程，不如有限元方法更搭配. 看看这些如雷贯耳的软件, fluent, star-cd, cfx, esi-fastran, esi-ace, openfoam, su2等等全是有限体积法,你就知道有限体积法的强大了.

三种方法中有限元和有限体积对计算域（几何区域）复杂度适应性好，而有限差分就是差很多了，因此FEM和FVM都是工程软件的首选，现在甚至学术界几乎都用FEM和FVM了，而FDM只是学生入门的时候用用。