现在到了数学抽象中最关键的一步：让我们忘记这些符号所表示的对象。（数学家）不应该在这里止步，有许多操作可以应用于这些符号，而根本不必考虑它们到底代表这什么。 （Hermann Weyl 思维的数学方式）
我们可以通过 define 做过程抽象，将过程看作一类计算演化的一个模式，同时高阶过程能够提升语言的威力。
而在解决复杂问题，处理和模拟复杂现象的时候，常需要构造和处理复杂的计算对象。这里重点讨论复合数据：将数据对象组合起来，形成复合数据的方式。
与构造复合过程类似，构造复合数据也能
1）提高编程的概念层次（可能在比基本数据更高的层面上工作）
2）提高设计的模块性（基于复合数据来组织程序）
3）增强语言的表达力（增加了“新”数据类型）
4）为处理计算问题提供更多手段和方法
假设要实现过程 add-rat，计算两个有理数之和。在基本数据层，一个
有理数可以看作两个整数。
这种做法显然很不理想：
1）如果有多个有理数，记住成对的分子和分母是很大麻烦
2）相互分离的两个调用很容易写错
3）所有运算的实现/使用都有同样问题
应该把一个有理数的分子分母粘在一起，做成复合数据（一个整体）
有了复合数据对象，就能在更高概念层上定义和使用操作（处理有理数，而不是处理两个整数），更清晰，更容易理解和使用
数据抽象的定义（表示和操作实现细节）与使用分离，提高了程序模块性。两边都可以独立演化，更容易维护修改
数据抽象能大大提高语言的表达能力
实现复合数据和数据抽象，也是建立适当的数据屏障（隔离）。要实现数据抽象，程序语言需要提供：
1）粘合机制，可用于把一组数据对象组合成一个整体
2）操作定义机制，定义针对组合数据的操作
3）抽象机制，屏蔽实现细节，使组合数据能像简单数据一样使用
处理复合数据的一个关键概念是闭包：组合数据的粘合机制不仅能用于基本数据，同样能用于复合数据，以便构造更复杂的复合数据
一个过程描述了一类计算的模式，又可以作为元素用于实现其他（更复杂的）过程。因此过程是一种抽象， 过程抽象屏蔽计算的实现细节（细节可替代），规定了使用方式（接口），使用方只依赖于抽象的使用方式约定。
而数据抽象可以包含一类数据所需的所有功能，又像基本数据元素一样可以作为其他数据抽象的元素。
1）屏蔽一种复合数据的实现细节
2）提供一套抽象操作，使用组合数据的就像是使用基本数据
3）数据抽象的接口（界面）包括两类操作：构造函数和选择函数。 构造函数基于一些参数构造这类数据，选择函数提取其内容
比如我们熟悉的栈就是一种数据抽象，你不用关心内部实现细节（比如可以用数组实现也可以用链表实现），你又可以把栈当成一种基本数据，去构造其他结构，比如队列。栈只对外提供必要的接口，比如构造接口，取数据的接口等等。
再举个例子：长方形可以看成一种数据抽象，他的内部可以用四个点表示，也可以用对角的两个点表示，也可以直接用长宽表示，他对外接口只要提供出度宽度就好了，当我们计算面积周长是，我们完全不care他们内部怎么组织实现的，我只要通过选择函数（接口）取得我想要的内容（长度宽度）。
Scheme 的基本复合结构称为“序对” ，基本过程 cons 把两个参数结合起来构造一个序对，过程 car 和 cdr 取出序对的两个成分
(define x (cons ))
(car x)
(cdr x)
序对也是数据对象，可以用于构造更复杂的数据对象，如：
(define y (cons ))
(define z (cons x y))
(car (car z))
(car (cdr z))
可以直接用序对表示有理数。基本过程的可行定义：
(define (make-rat n d) (cons n d))
(define (numer x) (car x))
(define (denom x) (cdr x))
输出有理数的过程（ display 是一个基本输出函数）
(define (print-rat x)
(display (numer x))
(display "/")
(display (denom x)) )
一般而言，实现数据抽象时要首先确定一组基本操作，其余操作都基于它们实现，不直接访问基础数据表示。
建立层次性抽象屏障的价值：
1）建立层次，隔离数据表示和使用，两部分独立，容易维护和修改
2）实现好的数据抽象可以用于其他程序和系统，比如各种库
3）一些设计决策可以推迟，直到有了更多实际信息后再处理
在 Scheme 里可以完全基于过程定义序对，如下面过程定义
(define (cons x y)
(define (dispatch m)
(cond ((= m) x)
((= m) y)
(else (error "Argument not 0 or 1 -- CONS" m))))
dispatch)
或者：
(define (cons x y)
(lambda (m)
(cond ((= m) x)
((= m) y)
(else (error "Argument not 0 or 1 -- CONS" m)))))
(define (car z) (z))
(define (cdr z) (z))
不难检查： (car (cons x y)) 将产生x，(cdr (cons x y)) 将产生y
注意这里(cons x y)返回的是一个过程。
这种过程性表示满足序对构造函数和选择函数的所有条件，，实际 Scheme 系统用存储表示直接实现序对，主要是为了效率
本例说明：过程和数据之间没有绝对界限，完全可以用过程表示数据。
再来看另一种实现：
(define (cons x y)
(lambda(m) (m x y))
)
(define (car z)
(z (lambda(p q) p))
)
(define (cdr z)
(z (lambda(p q) q))
)
注意这里的参数m为一个过程，(cons x y)返回的也为一个过程，该过程接收一个参数。
对于表达式 (car (cons 1 2)) 的展开序列如下：
(car (cons ))
(car (lambda (m) (m ))) ; 展开 cons
((lambda (z) (z (lambda (p q) p))) ; 展开 car ，代换 z
(lambda (m) (m )))
((lambda (m) (m )) ; 代换 m
(lambda (p q) p))
((lambda (p q) p) ; 代换 p
)
只需要有过程就可以定义出序对，不需要用任何数据结构，对其他数据对象，也同样可以做到。
计算机科学先驱 Alonzo Church 研究 λ 演算，他只用λ表达式（相当于完全基于过程）构造了整数算术系统。
考虑一个问题，如果将a、b的序对表示成2^a*3^b的整数，是否也可以给出相应的cons、car、cdr实现。
(define (cons x y)
(* (expt x) (expt y))
)
每个正整数都可以被分解为唯一的素数相乘序列，我们可以利用这一点，通过分解 cons 计算出的整数的序列，从而复原 car 和 cdr 。
(define (car z)
(if (= (remainder z))
(+ (car (/ z)))
)
)
(define (cdr z)
(if (= (remainder z))
(+ (car (/ z)))
)
)
序对为我们提供了构造复杂数据的黏接剂。
任何序对结构都可作为cons 的参数（cons 的闭包性质，序对的 cons还是序对）。只要有cons 就可以构造结构任意复杂的数据对象。
这里的闭包区别于带有自由变量的过程实现中的闭包。
用序对构造的最常用结构是序列：一批数据的有序汇集
包含元素 1, 2, 3, 4 的序列：(cons 1 (cons 2 (cons 3 (cons 4 nil))))
nil 是特殊变量，它不是序对，当作空序列（空表）
使用 cons 顺序构造起来的序列称为表。 list 是构造表的过程：
(list <a1> <a2> ... <an>)
等价于
(cons <a1> (cons <a2> (cons ... (cons <an> nil) ...)))
表输出为带括号的元素序列
表输出为带括号的元素序列。例如
(define one-through-four (list ))
one-through-four
( )
区分 (list 1 2 3 4) 和输出的 (1 2 3 4)，前者是表达式，后者是表达式求值的结果
car 取出表是第一项， cdr 取得去掉第一项后其余项的表：
(car one-through-four)
(cdr one-through-four)
( )
(car (cdr one-through-four))
(cons one-through-four)
( )
注意序对和表的不同。设
(define x (cons))
(define y (list))
这时有：
(car x)
(cdr x)
(car y)
(cdr y) ()
注意：序对和表都需要在内存里安排存储，每次 cons 都要做一次动态存储分配
做表操作时可能导致一些序对单元失去引用。 Scheme 系统有内置的废料收集系统，能自动回收这种单元
定义过程 list-ref 返回表 items 中第 n 项元素（ n 是 0 时返回首项）
通过递归，可将list-ref过程定义为：
(define (list-ref items n)
(if (= n)
(car items)
(list-ref (cdr items) (- n))))
(define squares (list ))
(list-ref squares )
求表长的递归定义：
(define (length items)
(if (null? items)
(+ (length (cdr items)))))
拼接两个表的过程 append：
(define (append list1 list2)
(if (null? list1)
list2
(cons (car list1) (append (cdr list1) list2))))
或者：
(define (appendd list1 list2)
(if (null? list2)
list1
(appendd (cons list1 (car list2)) (cdr list2))))
基本过程 +、 * 和 list 等都允许任意多个参数
我们也可以定义这种过程，只需用带点尾部记法的参数表：
(define (f x y . z) )
圆点之前可以根据需要写多个形参，它们将一一与实参匹配。圆点后写一个形参，应用时关联于其余实参的表。
比如(f 1 2 3 4 5 6)
对应于上面，则x为1，y为2，z为表(3 4 5 6)
下面是一个求任意多个数的平方和的过程：
(define (square-sum x . y)
(define (ssum s vlist)
(if (null? vlist)
s
(ssum (+ s (square (car vlist))) (cdr vlist))))
(ssum (square x) y) )
如果需要处理的是 0 项或任意多项，参数表用 (square-sum . y)，过程体也需要相应修改
表的映射：把某过程统一应用于表元素，得到结果的表（好多语言都实现了类似的操作）
例：构造把所有元素等比例放大或缩小的表
(define (scale-list items factor)
(if (null? items)
nil
(cons (* (car items) factor)
(scale-list (cdr items) factor))))
(scale-list (list))
(10)
总结这一计算的模式，可以得到一个重要的（高阶）过程 map：
(define (map proc items)
(if (null? items)
nil
(cons (proc (car items))
(map proc (cdr items)))))
(map abs (list -10 -11.6))
(10)
(map (lambda (x) (* x x)) (list))
(1)
map 把处理元素的过程应用于作为其参数的表里的每个元素，得到的是通过该过程的应用得到的所有新元素的表
可以看作操作的“提升”：把元素层的映射（由一个元素得到另一新元素）提升为表层的操作（由一个表得到另一新表）
用 map 给出 scale-list 的定义：
(define (scale-list items factor)
(map (lambda (x) (* x factor))
items) )
map是一类表处理的高层抽象，代表一种公共编程模式：
在 scale-list 原定义里，元素操作和对表元素的遍历交织在一起，使这两种操作都不够清晰。
在新定义里，通过使用 map 抽象分离了对元素的操作和对表的变换（对表的遍历和作为结果的表的构造），两部分都可以独立变化，可以换一个操作或者换一种操作模式，这是一种很有价值的思路。
类似的抽象还有for-each，我们来定义一个for-each:
(define (foreach proc items)
(if (not (null? items))
(begin
(proc (car items))
(foreach proc (cdr items))
))
)
>(for-each (lambda (x) (newline) (display x)) (list ))
用表表示序列，可以自然推广到元素也是序列的情况，如把 ((1 2) 3 4) 看作是用 (list (list 1 2) 3 4) 构造的表里有 3 项，其中第 1 项又是表。结构如下图:
这种结构可以看作是树，其中的子表是子树，基本数据是树叶。树形结构可以自然地递归方式处理，树操作分为对树叶的具体操作和对子树的递归处理。
统计树叶个数的过程 count-leaves：
(define (count-leaves x)
(cond
((null? x))
((not (pair? x)))
(else (+ (count-leaves (car x)) (count-leaves (cdr x))))
)
)
count-leaves 实现一种遍历树中所有树叶、积累信息的过程。反映了一种处理多层表的通用技术。
把树叶（假设是数）按 factor 等比缩放。可以用 count-leaves 的
方式遍历树，在遍历中构造作为结果的树：
(define (scale-tree tree factor)
(cond ((null? tree) nil)
((not (pair? tree)) (* tree factor))
(else (cons (scale-tree (car tree) factor)
(scale-tree (cdr tree) factor)))))
(scale-tree (list (list (list ) ) (list )) )
( ( ( ) ) ( ))
把树看作子树序列，也可以基于 map 实现 scale-tree：
(define (scale-tree tree factor)
(map (lambda (sub-tree)
(if (pair? sub-tree) (scale-tree sub-tree factor)
(* sub-tree factor)))
tree))
求集合全部子集：
(define (subsets s)
(if (null? s)
(list `())
(let ((rest (subsets (cdr s))))
(append rest (map (lambda (x)(cons (car s) x)) rest))
)))
以序列作为程序接口，可以用高阶过程实现各种程序模式
求一棵树里值为奇数的树叶的平方和：
(define (sum-odd-squares tree)
(cond ((null? tree))
((not (pair? tree)) (if (odd? tree) (square tree)))
(else (+ (sum-odd-squares (car tree))
(sum-odd-squares (cdr tree))))))
相关过程抽象：
1）枚举树中所有树叶
2）滤出其中的奇数
3）对选出的数求平方
4）用 + 累积它们，从 0 开始
上面的程序都没有很好地反映这种信息流动的结构，过程的实现中不同步骤交织在一起，缺乏结构性。如何组织程序，拥有更好的结构性？
回想之前的map，我们是通过表操作实现各步处理。
例如，用 map 实现信息流中的映射：
(map square (list))
(1)
对序列的过滤，就是选出其中满足某个谓词的元素：
(define (filter predicate sequence)
(cond ((null? sequence) nil)
((predicate (car sequence)) (cons (car sequence) (filter predicate (cdr sequence))))
(else (filter predicate (cdr sequence)))))
累积操作的过程实现：
(define (accumulate op initial sequence)
(if (null? sequence)
initial
(op (car sequence) (accumulate op initial (cdr sequence)))))
(accumulate + (list ))
(accumulate cons nil (list ))
( )
枚举一棵树的所有树叶：
(define (enumerate-tree tree)
(cond ((null? tree) nil)
((not (pair? tree)) (list tree))
(else (append (enumerate-tree (car tree))
(enumerate-tree (cdr tree))))))
(enumerate-tree (list (list (list))))
(1)
那么我们可以利用这些基础操作重新定义的 sum-odd-square：
(define (sum-odd-squares tree)
(accumulate +
(map square
(filter odd? (enumerate-tree tree)))))
不同于之前以当个数据作为操作对象，将操作交织在一起，这里以表为各模块接口，使个操作过程分离，结果更加清晰。而且这些基本操作还可以进行复用，组合构成其他操作。
给定n，找出所有不同的 i 和 j 使 1 <= j < i <= n 且 i + j 是奇数。
1） 枚举出所有（i，j）
;定义一个区间序列生成函数
(define (enumerate-interval low high)
(if(> low high)
`()
(cons low
(enumerate-interval (+ low) high)))
)
(define (make_pair n)
(accumulate append `()
(map (lambda (i) (map (lambda (j) (consi j)) (enumerate-interval (- i))))
(enumerate-interval n))))
2） 判断是否为奇数
(define (odd-sum pair)
(odd? (+ (car pair) (cdr pair)))
)
3） 根据判断过滤