一.二维的散度
我们已经学习过二维的散度，在二维向量场内
有一个区域R
区域的边界是闭合曲线c
格林定理告诉我们
它的通量就是通过边界c的向量F与单位法向量的点击的积分
也等于微小面积dA的散度的积分
而由向量场的方向，我们基本可以判定散度和通量的情况
如下
左图向量场向外，散度为正
中图流出总体等于流入，散度为0
由图向量朝内，散度为负
那么在三维中，以下图为例
R则从面积变为体积
边界s则从曲线变为面
如果它的散度为正，向量场是从里向外发散的
所以三维的通量是通过变面积的向量与单位法向量的积分，因此是双重积分
这也等于球体内微小的小块体积的散度的积分
下面看一个例子
三维向量场F，
三维体R的表面是S
面积S的积分就等于微小体积dV的散度积分
散度是 ∇ \nabla ∇算子与向量场标量的点积
求
与F的标量
的点积
1.对于
左边偏导就是x，有编制数部分全部为0
2.对于
左边对y求导得到x，右边的导数为0
3.对与
对z求导，相当于常数，导数为0
所以得到：
接下来确定积分边界
可以看出先对有积分，可以达到z的表达式，再对z积分可以得到x的表达式
因此我们按照这个顺序积分
2x的原函数等于2xy
带入边界2-z得到
在求2-z对于z的原函数
带入边界 1 − x 2 1-x^2 1−x2得到
在求 3 x − 2 x 3 − x 5 3x-2x^3-x^5 3x−2x3−x5的原函数
带入边界
得到的值为0