勾股定理求最值问题的情况较多，常与“两点之间线段最短”结合，考查路径最短问题。会将生活中的实际问题转化为数学模型，利用数学知识去解决问题。在解决问题时，如果遇到立体图形，比如常见长方体、正方体、圆柱体、圆锥体，那就需要将这些图形的侧面展开，构造出直角三角形，利用勾股定理求出最小值。不是所有的问题都可以利用“两点之间线段最短”来解决的，有些题目可能要借助“将军饮马模型”来解决。
类型一：圆柱中的最短路径
例题1：如图所示，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是多少cm？(π取3)
分析：首先要明确的是，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，在圆柱上看是一个曲面，没法直接利用“两点之间线段最短”来求解，因此需要将圆柱的侧面展开。然后要明确的是从A到B是侧面的一半，即当圆柱的侧面展开后，点B为矩形长的一半。
解：AC=2×3×5÷2=15，BC=20，根据勾股定理可求得AB=25，因此最短路程是25cm.
类型二：圆锥中的最短路径
例题2：如图，一个圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，在圆锥的底面边缘上一点A处有一只蚂蚁，想吃到点A相对的母线的中点B处的一粒砂糖，这只蚂蚁从点A出发，沿着曲面爬到点B，最短路线的长是多少？
分析：首先要明确的是，蚂蚁从点A出发，沿着曲面爬到点B，在圆锥上是曲面，因此我们需要将圆锥侧面展开，圆锥的侧面是一个扇形，那就需要计算出扇形圆心角的度数。接着，需要明确同样蚂蚁只爬行了半圈，并且点B在半径的中点处，然后利用“两点之间线段最短”求出爬行的最短距离。
类型三：正方体(长方体)中的最短路径
例题3：如图所示，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点A处，它想爬到顶点B处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程是多少？
分析：蚂蚁从A到B，因为是立体图，同样不能直接由A到B，不可能钻过去，只能在表面爬行，需要将表面展开，找到A与B，构造直角三角形ABC，通过勾股定理求出线段AB的长度，即为最短距离。
在长方体中，比正方体难一点，因为正方体展开后都是正方形，因此只有一种情况。但是长方体侧面展开虽然都是矩形，但是却要分三种情况进行讨论。
类型四：台阶中最短路径问题
例题4：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
分析：蚂蚁从A到B需要经过台阶所有的平面，可以把这个台阶展成一个平面，通过构造直角三角形，利用勾股定理来求最短距离。
解：将台阶展开，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
根据勾股定理可得：AB=13(cm)，
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．