adaboost算法_第八章 提升方法（第2节 AdaBoost算法的训练误差分析）

二、AdaBoost算法的训练误差分析

通过前一节例子的学习，我们知道，AdaBoost最基本的性质是它能在学习过程中

不断减少训练误差

，即不断减少在训练数据集上的

分类误差率

。接下来一起来看

两个定理：

定理一（AdaBoost的训练误差界）：

AdaBoost算法

最终分类器的训练误差界

为：

（0式）

（上面的公式乍一看不是很明白~一定要看推导，我会很详细地给出推导。现在先口头

理解一下：

上式左边一个不等式，右边一个等式；不等式的左边仔细一看，就是当前最终分类器

对训练样本的误分类率。行了，知道这个就好了~）

我们把上式中涉及到的

几个函数

列出来：

（1式）

-------------最终分类器（包含M个弱分类器）

（2式）

-----------M个弱分类器的线性组合

（3式）

----------规范化因子

好了，为了方便接下来的推导，我们还要回顾上一篇

涉及的

几个公式：

（4式）

-----------初始化训练数据的权值分布为均匀分布。

（5式）

-------更新权值分布。

（6式）

-------（5式）变形。

有了上面的5个式子，放心大胆地推导吧。

“0式”左边不等式的证明：当

时，

，因而

，所以不等式很容易证明了。不用多说~

接下来证明“0式”右边的等式：

即

AdaBoost的训练误差界

为

。

这一定理说明，可以在每一轮选取适当的分类器

使得该轮对应的规范化因子

最小，从而使训练误差

下降最快

。

接下来具体介绍一下

二类分类问题

的训练误差界，看一下是多少。

定理二（二类分类问题AdaBoost的训练误差界）：

直接上公式：

其中，

。

要证明这个定理，我们再来

引入

几个式子：

（7式）

----------基本分类器

的分类误差率就等于被错误分类样本对应的权值之和。

（8式）

并且

我们知道

当

时，

；当

时，

。

这样就可以开始证明了。

证明：

所以定理左边的等式得证。至于不等式：

则可先由

和

在点

处的

泰勒展开式

推出不等式：

，进而得到。

上面这两个定理就介绍完了，接着在介绍一个推论，了解一下即可~

推论：

如果存在

，使得对所有

都有

，则有最终分类器的分类误差率：

-------------推导很简单~

这表明在此条件下，AdaBoost的训练误差是以

指数速率下降

的。

注意：

AdaBoost算法不需要知道下界

。

这正是Freund与Schapire设计AdaBoost时所考虑的。与一些早期的提升方法不同，AdaBoost具有

适应性，

即它能适应弱分类器各自的训练误差率。这也是它的名称（适应的提升）的由来，

Ada是Adaptive的简写。 下一篇将介绍

AdaBoost算法的另一种解释~