matlab b样条的 coefs,B样条基函数——B-Spline Basis Functions

B-Spline Basis Functions

摘要Abstract：直接根据B样条的Cox-deBoor递推定义写出计算B样条基函数的程序，并将计算结果在OpenSceneGraph中显示。

关键字Key Words：B Spline Basis Functions、OpenSceneGraph

一、概述Overview

有很多方法可以用来定义B样条基函数以及证明它的一些重要性质。例如，可以采用截尾幂函数的差商定义，开花定义，以及由de Boor和Cox等人提出的递推公式等来定义。我们这里采用的是递推定义方法，因为这种方法在计算机实现中是最有效的。

令U={u0,u1,…,um}是一个单调不减的实数序列，即ui<=ui+1，i=0,1,…,m-1。其中，ui称为节点，U称为节点矢量，用Ni,p(u)表示第i个p次B样条基函数，其定义为：

B样条基有如下性质：

a) 递推性；

b) 局部支承性；

c) 规范性；

d) 可微性；

二、程序 Codes

直接根据B样条基函数的Cox-deBoor递推定义，写出计算B样条基函数的程序如下：

头文件BSplineBasisFunction.h：

#ifndef _BSPLINEBASISFUNCTION_H_

#define_BSPLINEBASISFUNCTION_H_

#include

classBSplineBasisFunction

{

public:

    BSplineBasisFunction(conststd::vector&U);

~BSplineBasisFunction(void);

public:

intFindSpan(doubleu);

doubleEvalBasis(inti,intp,doubleu);

intGetKnotVectorSize(void)const;

doubleGetKnot(inti)const;

private:

    std::vectormKnotVector;

};

#endif//_BSPLINEBASISFUNCTION_H_

实现文件BSplineBasisFunction.cpp：

#include"BSplineBasisFunction.h"

BSplineBasisFunction::BSplineBasisFunction(conststd::vector&U )

    :mKnotVector(U)

{

}

BSplineBasisFunction::~BSplineBasisFunction(void)

{

}

intBSplineBasisFunction::GetKnotVectorSize(void)const

{

returnstatic_cast(mKnotVector.size());

}

doubleBSplineBasisFunction::GetKnot(inti )const

{

returnmKnotVector[i];

}

intBSplineBasisFunction::FindSpan(doubleu )

{

intiSize=static_cast(mKnotVector.size());

if(u>=mKnotVector[iSize-1])

{

returniSize;

    }

intiLow=0;

intiHigh=iSize;

intiMiddle=(iLow+iHigh)/2;

while(umKnotVector[iMiddle+1])

{

if(u

{

            iHigh=iMiddle;

        }

else

{

            iLow=iMiddle;

        }

        iMiddle=(iLow+iHigh)/2;

    }

returniMiddle;

}

doubleBSplineBasisFunction::EvalBasis(inti,intp,doubleu )

{

if((i+p+1)>=GetKnotVectorSize())

{

return0;

    }

if(0==p)

{

if(u>=mKnotVector[i]&&u

{

return1;

        }

else

{

return0;

        }

    }

doubledLeftUpper=u-mKnotVector[i];

doubledLeftLower=mKnotVector[i+p]-mKnotVector[i];

doubledLeftValue=0;

doubledRightUpper=mKnotVector[i+p+1]-u;

doubledRightLower=mKnotVector[i+p+1]-mKnotVector[i+1];

doubledRightValue=0;

if(dLeftUpper!=0&&dLeftLower!=0)

{

        dLeftValue=(dLeftUpper/dLeftLower)*EvalBasis(i, p-1, u);

    }

if(dRightUpper!=0&&dRightLower!=0)

{

        dRightValue=(dRightUpper/dRightLower)*EvalBasis(i+1, p-1, u);

    }

return(dLeftValue+dRightValue);

}

主函数：

#include

#include

#include

#include

#include"BSplineBasisFunction.h"

#pragma comment(lib,"osgd.lib")

#pragma comment(lib,"osgDBd.lib")

#pragma comment(lib,"osgGAd.lib")

#pragma comment(lib,"osgViewerd.lib")

osg::Node*MakeBasisFuncLine(BSplineBasisFunction&bf,inti,intp)

{

//The property basis functions.

intiLen=bf.GetKnotVectorSize();

intiStep=800;

doubledStart=bf.GetKnot(0);

doubledEnd=bf.GetKnot(iLen-1);

doubledDelta=(dEnd-dStart)/iStep;

doubleu=0;

doublev=0;

//Create the Geode (Geometry Node) to contain all our osg::Geometry objects.

osg::Geode*geode=newosg::Geode;

//Create Geometry object to store all the vertices and lines primitive.

osg::ref_ptr<:geometry>linesGeom=newosg::Geometry;

//Set the vertex array to the points geometry object.

osg::ref_ptr<:vec3array>pointsVec=newosg::Vec3Array;

for(ints=0; s<=iStep; s++)

{

        u=s*dDelta;

        v=bf.EvalBasis(i, p, u);

if(v!=0)

{

            pointsVec->push_back(osg::Vec3(u,0, v));

        }

    }

    linesGeom->setVertexArray(pointsVec);

//Set the colors.

osg::ref_ptr<:vec4array>colors=newosg::Vec4Array;

    colors->push_back(osg::Vec4(1.0f,1.0f,0.0f,0.0f));

    linesGeom->setColorArray(colors.get());

    linesGeom->setColorBinding(osg::Geometry::BIND_OVERALL);

//Set the normal in the same way of color.

osg::ref_ptr<:vec3array>normals=newosg::Vec3Array;

    normals->push_back(osg::Vec3(0.0f,-1.0f,0.0f));

    linesGeom->setNormalArray(normals.get());

    linesGeom->setNormalBinding(osg::Geometry::BIND_OVERALL);

//Add the points geometry to the geode.

linesGeom->addPrimitiveSet(newosg::DrawArrays(osg::PrimitiveSet::LINE_STRIP,0, pointsVec->size()));

    geode->addDrawable(linesGeom.get());

returngeode;

}

osg::Node*CreateScene(void)

{

    osg::Group*root=newosg::Group;

//Knot vector: U={0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5}.

std::vectorknotVector;

    knotVector.push_back(0);

    knotVector.push_back(0);

    knotVector.push_back(0);

    knotVector.push_back(1);

    knotVector.push_back(2);

    knotVector.push_back(3);

    knotVector.push_back(4);

    knotVector.push_back(4);

    knotVector.push_back(5);

    knotVector.push_back(5);

    knotVector.push_back(5);

    BSplineBasisFunction basisFunc(knotVector);

for(inti=0; i

{

//

//root->addChild(MakeBasisFuncLine(basisFunc, i, 1));

//

root->addChild(MakeBasisFuncLine(basisFunc, i,2));

    }

returnroot;

}

intmain(intargc,char*argv[])

{

    osgViewer::Viewer viewer;

    viewer.setSceneData(CreateScene());

    viewer.addEventHandler(newosgGA::StateSetManipulator(viewer.getCamera()->getOrCreateStateSet()));

    viewer.addEventHandler(newosgViewer::StatsHandler);

    viewer.addEventHandler(newosgViewer::WindowSizeHandler);

returnviewer.run();

}

若想显示出所有次数的B样条基函数，只需要在CreateScene中添加就好了。

以《The NURBS Book》中的例子2.2，节点矢量U={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5}，次数p=2，分别将程序计算的一次、二次B样条基函数的结果列出，如下图所示：

图1. 一次B样条基函数

图2. 二次B样条基函数

本来还想将不同的B样条基函数以不同的颜色显示，试了几次，都没有成功。若以不同的颜色显示，会更直观。若你有设置颜色的方法，欢迎告诉我，[email protected]。

三、结论 Conclusion

程序计算结果与书中吻合，效果还不错。

理解了B样条的Cox-deBoor递推定义之后，可以将程序中的递归代码转换为非递归实现，这样就可以深入理解B样条基函数了。