二分——头疼的边界

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二分

哈罗，大家好，我是cht。

二分的思路

从前有这么一道题，说：

如何用10个砝码撑出1-1023的重量？

大家仔细考虑下这题，相信大家都已经有答案了。

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512这十个砝码。

再来一题：

有一栋高楼，怎么用最少的次数知道它最多在几层被抛下是不会碎？

答案就是是二分。

好，接下来我们步入正轨，到底什么是二分？

请看图：

这就是二分，一次可以排除几乎一半的答案。

所以我个人觉得二分就是枚举的一种优化。

先让大家看看二分有多nb。

假设共有一亿种答案，二分算30来此也就够了！

不信的童鞋们算算1024乘1024乘1024

接下来说说二分的两种情况

情况1：整数二分

整数二分就是整数情况下的二分，比较难做。

情况2：浮点数二分

浮点情况的二分，几行搞定！

下面是模板

1、整数二分模板1

int l = 0, r = n - 1;
while(/*......*/)//条件，因题而异
{
    int mid = l + r >> 1;
    if(/*......*/) r = mid;//中间为符不符合条件（写>=）
    else l = mid + 1;
}
cout <</*......*/    << l << /*......*/;
           

2、整数二分模板2

int l = 0, r = n - 1;
while(/*......*/)//条件，因题而异
{
    int mid = l + r + 1 >> 1;//注意要加1！！！
    if(/*......*/) l = mid;//中间为符不符合条件（写<=）
    else r = mid - 1;
}
cout <</*......*/    << l << /*......*/;
           

3、浮点数二分模板（其实和上面一样）

double l = /*......*/,r = /*......*/;
while(/*......*/)
{
    double mid = (l + r) / 2;
    if(/*......*/) r = mid;
    else l = mid;
}
printf("%.*lf\n", l)//*代表保留几位小数
           

最后来两道题（选自算法基础课）

1、数的范围

题目描述

给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。
           

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
           

样例

输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
           

代码

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> q[i];
    while(m --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        
        int l = 0, r = n - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        
        if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else 
        {
            cout << l << ' ';
            
            int l = 0, r = n - 1;
            while(l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}
           

2、数的三次方根

题目描述

给定一个浮点数n，求它的三次方根。
           

数据范围

−10000≤n≤10000
           

样例

输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000
           

代码

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    
    double l = -10000,r=10000;
    while(r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    
    printf("%lf", l);
    return 0;
}
           

好了，今天cht就先跟大家聊到这里

大家可以看看闫学灿巨佬的课以了解更多有关二分的知识。

有错误请多多指正

bye!!!