取自孙明的＂数字图像处理与分析基础＂
考察正弦函数sin2 π π ax，它的微分为2 π π acos2 π π ax，微分后频率不变，幅度上升2 π π a倍．空间频率越高，幅值增加就越大．这表明微分可以通过加强高频成分，使图像轮廓变清晰．最常用的微分方法视梯度法．设有一副图像 f(x,y) f ( x , y ) ，它的梯度采用数学概念描述时是一个向量，定义为
G[f(x,y)]=[∂f∂x ∂f∂y]T.................(0) G [ f ( x , y ) ] = [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ] T . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 0 )
可见，梯度具有以下两个重要性质：
- 梯度的方向在函数 f(x,y) f ( x , y ) 最大变化率的方向上．
- 该梯度向量的模为 G[f(x,y)]=[(∂f/∂x)2+(∂f/∂y)2]12 G [ f ( x , y ) ] = [ ( ∂ f / ∂ x ) 2 + ( ∂ f / ∂ y ) 2 ] 1 2
G[f(x,y)] G [ f ( x , y ) ] 称为图像 f(x,y) f ( x , y ) 的梯度，实际上视图像 f(x,y) f ( x , y ) 的梯度图像．
从数学上说，梯度的数值为 f(x,y) f ( x , y ) 在其最大变化率方向上的单位距离所增加的量．对于数学图像，可用差分来近似微分．
几种常见差分算法
（1）梯度算法
按照差分运算近似的梯度表达式为
G[f(x,y)]=[(f(x,y)−f(x+1,y))2+(f(x,y)−f(x,y+1))2]12....(1) G [ f ( x , y ) ] = [ ( f ( x , y ) − f ( x + 1 , y ) ) 2 + ( f ( x , y ) − f ( x , y + 1 ) ) 2 ] 1 2 . . . . ( 1 )
其中，各个像素 f(x,y) f ( x , y ) ， f(x+1,y) f ( x + 1 , y ) ， f(x,y+1) f ( x , y + 1 ) 之间的位置关系为
| f(x,y) f ( x , y ) | f(x,y+1) f ( x , y + 1 ) |
|---|---|
| f(x+1,y) f ( x + 1 , y ) |
（2）罗伯茨（Roberts）梯度算法
另一种常用的梯度算法称为罗伯茨梯度算法，它是一种交叉差分的计算方法，定义为
G[f(x,y)]=[(f(x,y)−f(x+1,y+1))2+(f(x+1,y)−f(x,y+1))2]12....(2) G [ f ( x , y ) ] = [ ( f ( x , y ) − f ( x + 1 , y + 1 ) ) 2 + ( f ( x + 1 , y ) − f ( x , y + 1 ) ) 2 ] 1 2 . . . . ( 2 )
其中，各个像素 f(x,y) f ( x , y ) ， f(x+1,y+1) f ( x + 1 , y + 1 ) ， f(x+1,y) f ( x + 1 , y ) ， f(x,y+1) f ( x , y + 1 ) 之间的位置关系为
| f(x,y) f ( x , y ) | f(x,y+1) f ( x , y + 1 ) |
|---|---|
| f(x+1,y) f ( x + 1 , y ) | f(x+1,y+1) f ( x + 1 , y + 1 ) |
（3）索伯尔（Sobel）算法
索伯尔算法的差分可表示为
G[f(x,y)]=[d1f(x,y)]2+d2f(x,y)]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.........(3) G [ f ( x , y ) ] = [ d 1 f ( x , y ) ] 2 + d 2 f ( x , y ) ] 2 . . . . . . . . . ( 3 )
其中， d1f(x,y)=(a2+ca3+a4)−(a0+ca7+a6) d 1 f ( x , y ) = ( a 2 + c a 3 + a 4 ) − ( a 0 + c a 7 + a 6 ) ， d2f(x,y)=(a0+ca1+a2)−(a6+ca5+a4) d 2 f ( x , y ) = ( a 0 + c a 1 + a 2 ) − ( a 6 + c a 5 + a 4 ) ，而 a0 a 0 , a1 a 1 ,……, a7 a 7 之间的位置关系如图１(a)所示， d1 d 1 和 d２ d ２ 为图１(b)和(c)所示的模板，其中常数c=2．
| a0 a 0 | a1 a 1 | a2 a 2 |
|---|---|---|
| a7 a 7 | (x,y) ( x , y ) | a3 a 3 |
| a6 a 6 | a5 a 5 | a4 a 4 |
图1(a) a0 a 0 , a1 a 1 ,……, a7 a 7 之间的位置关系
| −1 − 1 | 0 0 | 11 |
|---|---|---|
| −c − c | 0 0 | cc |
| −1 − 1 | 0 0 | 11 |
图1(b) d1 d 1
| 1 1 | cc | 1 1 |
|---|---|---|
| 00 | 0 0 | 00 |
| −1 − 1 | −c − c | 1 1 |
图1(b) d2d2
上面三图是索伯尔和普瑞维特算法模板
（4）普瑞维特（Prewitt）算法
普瑞维特算法的方程与索伯尔算法相同，只是常数c=1，如图(1)所示．与索伯尔算法方程相同的算法还有Sethi算法，这种算法的常数c=3；以及各向同性索伯尔(Isotropic Sobel)算法，次算法的常数 c=2–√ c = 2 ．后者的特点是沿不同方向锐化时梯度幅值一致．
上述采用平方根的算法运算较费时，为更适合计算机实现，采用下面的绝对差分算法．
梯度算法：
G[f(x,y)]≈|f(x,y)−f(x+1,y)|+|f(x,y)−f(x,y+1)| G [ f ( x , y ) ] ≈ | f ( x , y ) − f ( x + 1 , y ) | + | f ( x , y ) − f ( x , y + 1 ) |
罗伯茨梯度算法：
G[f(x,y)]≈|f(x,y)−f(x+1,y+1)|+|f(x+1,y)−f(x,y+1)| G [ f ( x , y ) ] ≈ | f ( x , y ) − f ( x + 1 , y + 1 ) | + | f ( x + 1 , y ) − f ( x , y + 1 ) |
索伯尔和普瑞维特算法：
G[f(x,y)]≈|d1f(x,y)|+|d2f(x,y)| G [ f ( x , y ) ] ≈ | d 1 f ( x , y ) | + | d 2 f ( x , y ) |
（5）拉普拉斯算法（二阶差分）
拉普拉斯算法的差分可表示为
G2[f(x,y)]=Δ21f(x,y)+Δ21f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)……(4) G 2 [ f ( x , y ) ] = Δ 1 2 f ( x , y ) + Δ 1 2 f ( x , y ) = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) … … ( 4 )
其模板如下图所示，这个模板可作为拉普拉斯1模板，常用的其它拉普拉斯模板入表１所示．
表１如下
（6）LoG算法
LoG边缘检测器的基本特征是，平滑滤波器是高斯滤波器，加强步骤采用二阶差分（拉普拉斯算法）．LoG算子的输出是通过卷集运算得到的：
h(x,y)=G2[g(x,y)∗f(x,y)]..................(5) h ( x , y ) = G 2 [ g ( x , y ) ∗ f ( x , y ) ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 5 )
根据卷积微分法有：
h(x,y)=[G2g(x,y)]∗f(x,y)..................(6) h ( x , y ) = [ G 2 g ( x , y ) ] ∗ f ( x , y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 6 )
其中
G2g(x,y)=(x2+y2−2σ2σ4)e−x2+y22σ2 G 2 g ( x , y ) = ( x 2 + y 2 − 2 σ 2 σ 4 ) e − x 2 + y 2 2 σ 2
直接实现LoG算法如图3所示，这是一个5*5拉普拉斯高斯模板．
对N*N数字图像，不可能在最后一行(x=N)和最后一列(y=N)像素上计算梯度值．一种补救办法视用前一行(x=N-1)和前一列(y=N-1)对应的像素的梯度值．
某像素上的梯度值视该像素与相邻像素的灰度差值的单调递增函数，具有以下特点：
- 图像轮廓上，像素灰度右陡然变化，梯度值很大．
- 图像灰度 变化平缓区域，梯度值很小．
- 等灰度区域，梯度值为零．
后续会加入scipy库中相关函数处理的程序
未完待续．．．．．．