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一维正态分布
若 随机变量
服从一个位置参数为
、尺度参数为
的概率分布，且其 概率密度函数为 [2]
则这个 随机变量就称为 正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为 正态分布，记作
，读作
服从
，或
服从正态分布。 μ维随机 向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何 线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。 本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“ 二维正态分布”。
标准正态分布
当
时，正态分布就成为 标准正态分布
性质
正态分布的一些性质： [2] （1）如果
且a与b是 实数，那么
(参见 期望值和 方差)。 （2）如果
与
是 统计独立的正态 随机变量，那么： 它们的和也满足正态分布
它们的差也满足正态分布
U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等） （3）如果
和
是独立常态随机变量，那么： 它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中
是修正贝塞尔函数（modified Bessel function） 它们的比符合 柯西分布，满足
（4）如果
为独立标准常态随机变量，那么
服从自由度为 n的 卡方分布。
切比雪夫不等式，描述了这样一个事实，事件大多会集中在平均值附近。
2.1 切比雪夫不等式与直观感受
切比雪夫不等式是这么写的：
其中
，
是期望，
是标准差。
我们还是通过
的正态分布来感受一下切比雪夫不等式：可见，越远离平均值，概率越低。
2.2切比雪夫不等式的证明
马尔科夫不等式是这样的：
我们把
代入：
很显然等价于：
令
，容易得到
：