【高等数学】秒杀必背积分表实数部分

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常用极限，导数，级数

秒杀必背积分表实数部分

秒杀必背积分表三角部分

实数部分

∫ ln ⁡ x d x = ( ln ⁡ x − 1 ) x + C   ∫ d x x 2 + a 2 = 1 a a r c t a n ( x a ) + C   ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C \int \ln xdx=(\ln x -1)x+C\\\ \\ \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C\\\ \\ \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C ∫lnxdx=(lnx−1)x+C ∫x2+a2dx​=a1​arctan(ax​)+C ∫x2−a2dx​=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C

∫ d x x 2 + a 2 = l n ( x + x 2 + a 2 ) + C   ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 3 = x a 2 x 2 + a 2 + C   ∫ x x 2 + a 2 d x = x 2 + a 2 + C   ∫ x ( x 2 + a 2 ) 3 d x = − 1 x 2 + a 2 + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\\ \\ \int \frac{dx}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}}=\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+C\\\ \\ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\sqrt{x^2+a^2}+C\\\ \\ \int \frac{x}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}}dx=-\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}+C ∫x2+a2

​dx​=ln(x+x2+a2

​)+C ∫(x2+a2)3

​dx​=a2x2+a2

​x​+C ∫x2+a2

​x​dx=x2+a2

​+C ∫(x2+a2)3

​x​dx=−x2+a2

​1​+C

∫ d x x 2 − a 2 = l n ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C   ∫ d x ( x 2 − a 2 ) 3 = − x a 2 x 2 − a 2 + C   ∫ x x 2 − a 2 d x = x 2 − a 2 + C   ∫ x ( x 2 − a 2 ) 3 d x = − 1 x 2 − a 2 + C \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\\ \\ \int \frac{dx}{\sqrt{(x^2-a^2)^3}}=-\frac{x}{a^2\sqrt{x^2-a^2}}+C\\\ \\ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\sqrt{x^2-a^2}+C\\\ \\ \int \frac{x}{\sqrt{(x^2-a^2)^3}}dx=-\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}+C ∫x2−a2

​dx​=ln∣x+x2−a2

​∣+C ∫(x2−a2)3

​dx​=−a2x2−a2

​x​+C ∫x2−a2

​x​dx=x2−a2

​+C ∫(x2−a2)3

​x​dx=−x2−a2

​1​+C

∫ d x a 2 − x 2 = a r c s i n ( x a ) + C   ∫ d x ( a 2 − x 2 ) 3 = x a 2 a 2 − x 2 + C   ∫ x a 2 − x 2 d x = − a 2 − x 2 + C   ∫ x ( a 2 − x 2 ) 3 d x = 1 a 2 − x 2 + C \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin(\frac{x}{a})+C\\\ \\ \int \frac{dx}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C\\\ \\ \int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-\sqrt{a^2-x^2}+C\\\ \\ \int \frac{x}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}dx=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}+C ∫a2−x2

​dx​=arcsin(ax​)+C ∫(a2−x2)3

​dx​=a2a2−x2

​x​+C ∫a2−x2

​x​dx=−a2−x2

​+C ∫(a2−x2)3

​x​dx=a2−x2

​1​+C

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 l n ( x + x 2 + a 2 ) + C   ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 l n ( x + x 2 − a 2 ) + C   ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 a r c s i n ( x a ) + C \int \sqrt{x^2+a^2} dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\\ \\ \int \sqrt{x^2-a^2}dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\\\ \\ \int \sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin(\frac{x}{a})+C ∫x2+a2

​dx=2x​x2+a2

​+2a2​ln(x+x2+a2

​)+C ∫x2−a2

​dx=2x​x2−a2

​−2a2​ln(x+x2−a2

​)+C ∫a2−x2

​dx=2x​a2−x2

​+2a2​arcsin(ax​)+C

积 分 中 值 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) , a < ξ < b   积 分 第 一 中 值 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x , a < ξ < b   f ( x ) 是 以 T 为 周 期 的 非 负 连 续 函 数 lim ⁡ x → + ∞ ∫ 0 x f ( t ) d t x = ∫ 0 T f ( x ) d x T   某 个 重 要 的 积 分 ∫ 0 x ( x − t ) f ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( u ) d u ) d t   积分中值\\ \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a), a<\xi<b\\\ \\ 积分第一中值\\ \int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx, a<\xi<b\\\ \\ f(x)是以T为周期的非负连续函数\\ \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)dt}{x}=\frac{\int_0^Tf(x)dx}{T}\\\ \\ 某个重要的积分\\ \int_0^x (x-t)f(t)dt=\int_0^x(\int_0^tf(u)du)dt\\\ \\ 积分中值∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a),a<ξ<b 积分第一中值∫ab​f(x)g(x)dx=f(ξ)∫ab​g(x)dx,a<ξ<b f(x)是以T为周期的非负连续函数x→+∞lim​x∫0x​f(t)dt​=T∫0T​f(x)dx​ 某个重要的积分∫0x​(x−t)f(t)dt=∫0x​(∫0t​f(u)du)dt 

、 、 区 间 再 现 、 、   平 移 : ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a − c b − c f ( x + c ) d x   移 到 原 点 ： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ − b − a 2 b − a 2 f ( x + a + b 2 ) d x   区 间 压 半 ： ∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x   奇 偶 分 解 ： f ( x ) = 1 2 [ f ( x ) + f ( − x ) ] + 1 2 [ f ( x ) − f ( − x ) ]   区 间 翻 转 ： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x 、、\bm{区间再现}、、\\\ \\ 平移:\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-c}^{b-c}f(x+c)dx\\\ \\ 移到原点：\int_a^b f(x)dx = \int_{-\frac{b-a}{2}}^{\frac{b-a}{2}}f(x+\frac{a+b}{2})dx\\\ \\ 区间压半：\int_{-a}^a f(x)dx = \int_0^a [f(x)+f(-x)]dx\\\ \\ 奇偶分解：f(x) = \frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+ \frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]\\\ \\ 区间翻转： \int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx 、、区间再现、、 平移:∫ab​f(x)dx=∫a−cb−c​f(x+c)dx 移到原点：∫ab​f(x)dx=∫−2b−a​2b−a​​f(x+2a+b​)dx 区间压半：∫−aa​f(x)dx=∫0a​[f(x)+f(−x)]dx 奇偶分解：f(x)=21​[f(x)+f(−x)]+21​[f(x)−f(−x)] 区间翻转：∫ab​f(x)dx=∫ab​f(a+b−x)dx

区 间 上 压 半 公 式 ； ∫ a a + b 2 [ f ( x ) + f ( a + b − x ) ] d x = ∫ a + b 2 b [ f ( x ) + f ( a + b − x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x 区间上压半公式；\int_a^{\frac{a+b}{2}} [f(x)+f(a+b-x)]dx = \int_{\frac{a+b}{2}}^b [f(x)+f(a+b-x)]dx = \int_a^bf(x)dx 区间上压半公式；∫a2a+b​​[f(x)+f(a+b−x)]dx=∫2a+b​b​[f(x)+f(a+b−x)]dx=∫ab​f(x)dx

线面积分

一 型 曲 线 积 分 （ 标 量 场 积 分 ）   ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 d x   = ∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t   = ∫ α β f ( r c o s θ , r s i n θ ) r 2 + ( r ′ ) 2 d θ   一 型 曲 面 积 分   ∬ Σ f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 + ( z x ′ ) 2 + ( z y ′ ) 2 d x d y 一型曲线积分（标量场积分）\\\ \\ \int_L f(x, y)ds = \int_a^b f(x, y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}dx\\\ \\ =\int_a^bf(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\\\ \\ =\int_{\alpha}^{\beta} f(rcos\theta, rsin\theta)\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta\\\ \\ 一型曲面积分\\\ \\ \iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS= \iint_{Dxy} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}dxdy 一型曲线积分（标量场积分） ∫L​f(x,y)ds=∫ab​f(x,y(x))1+(y′(x))2

​dx =∫ab​f(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2

​dt =∫αβ​f(rcosθ,rsinθ)r2+(r′)2

​dθ 一型曲面积分 ∬Σ​f(x,y,z)dS=∬Dxy​f(x,y,z(x,y))1+(zx′​)2+(zy′​)2

​dxdy

二 型 曲 线 积 分 （ 矢 量 场 路 径 积 分 ）   单 变 量 处 理 ：   ∫ L a b P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β [ P ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y ′ ( t ) ] d t   格 林 公 式 ( 退 化 的 斯 托 克 斯 公 式 ) ：   ∮ L P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y   只 要 该 矢 量 场 保 守 （ 无 旋 ） 就 可 以 用 路 径 替 换 法 求 积 分 ， 参 考 矢 量 分 析 二型曲线积分（矢量场路径积分）\\\ \\ 单变量处理：\\\ \\ \int_{L_{ab}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t))y'(t)]dt\\\ \\ 格林公式(退化的斯托克斯公式)：\\\ \\ \oint_L Pdx+Qdy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\\ \\ 只要该矢量场保守（无旋）就可以用路径替换法求积分，参考矢量分析 二型曲线积分（矢量场路径积分） 单变量处理： ∫Lab​​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt 格林公式(退化的斯托克斯公式)： ∮L​Pdx+Qdy=∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy 只要该矢量场保守（无旋）就可以用路径替换法求积分，参考矢量分析

二 型 曲 面 积 分 （ 矢 量 场 通 量 积 分 ）   ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ D x y R ( x , y , z ( x y ) ) d x d y   其 中 Σ 取 上 侧 、 前 侧 、 右 侧 ， 右 边 取 ＋   高 斯 散 度 定 理 （ 高 斯 公 式 ）   ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ Ω [ ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ] d x d y d z   一 二 型 曲 面 积 分 转 换   ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ± ∬ D x y [ P ⋅ ( − z x ′ ) + Q ⋅ ( − z y ′ ) + R ] d x d y       空 间 二 型 曲 线 积 分 （ 空 间 矢 量 场 路 径 积 分 ）   斯 托 克 斯 公 式 ， 具 体 参 考 矢 量 分 析 公 式 大 全 二型曲面积分（矢量场通量积分）\\\ \\ \iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy = \pm\iint_{D_{xy}} R(x,y,z(xy))dxdy\\\ \\ 其中\Sigma 取上侧、前侧、右侧，右边取＋\\\ \\ 高斯散度定理（高斯公式）\\\ \\ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega[\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}]dxdydz\\\ \\ 一二型曲面积分转换\\\ \\ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm\iint_{D_{xy}}[P\cdot(-z_x')+Q\cdot(-z_y')+R]dxdy\\\ \\ \\\ \\ \\\ \\ 空间二型曲线积分（空间矢量场路径积分）\\\ \\ 斯托克斯公式，具体参考矢量分析公式大全 二型曲面积分（矢量场通量积分） ∬Σ​R(x,y,z)dxdy=±∬Dxy​​R(x,y,z(xy))dxdy 其中Σ取上侧、前侧、右侧，右边取＋ 高斯散度定理（高斯公式） ∬

​Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω​[∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​]dxdydz 一二型曲面积分转换 ∬Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=±∬Dxy​​[P⋅(−zx′​)+Q⋅(−zy′​)+R]dxdy   空间二型曲线积分（空间矢量场路径积分） 斯托克斯公式，具体参考矢量分析公式大全

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