『惰性求值』初探

首先，以一个经典的问题来引入惰性求值1的概念：能否用定义函数的方式定义出if2控制构造？例如，对于某个语言的 if 语句，有如下简单的语法：

if test then-clause else-clause

（

if true (1+1) (1-1)

将返回2 ）；那么，我们能否用定义函数的方式定义出这个if操作符？不妨先试试吧：

def new_if(test, then_clause, else_clause):
    tmp = test and then_clause
    return (tmp or else_clause)

new_if(True, +, -) # -> 2
new_if(False, +, -) # -> 0
           

如此看上去似乎效果不错。现在我们用这个新的 if 来写一个简单的阶乘函数：

def factorial(n):
    return new_if(n<=, n, n*factorial(n-))

factorial() 
# -> should be 24, but instead, we get
# RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
           

糟糕！Python解释器告诉我们由于递归深度超过了限制，计算被中断了。这说明，这个所谓

new_if

是行不通的，为什么呢？

事实上，包括Python在内的众多语言都是使用『严格求值序』3的。这意味着，当作为实参的表达式被送入函数体时，总是会被先求值。例如，在刚刚的例子里，由于在执行

new_if

之前第三个实参总是要被求值，于是整个计算过程就变成『死循环』了。

这看上去似乎是很无奈的事情。但另一方面，一门叫「Haskell」4的语言采用了『正则求值序』——即我们今天要讨论的所谓『惰性求值』。在这样的求值序下，当且仅当表达式需要被求值时才会被求值。例如，如果 Python 采用的是『正则求值序』，那么在刚刚的

new_if

函数体里，只有当

tmp

为

False

的时候

else-clause

才会被求值，否则是不会被求值的。

所以，从这个角度看，『惰性求值』是个很有趣的概念。例如，它可以实现『惰性表』这样的东西。总的来说，利用『惰性求值』，可以避免掉不必要的计算。下面，我们先用 Python5 实现两个函数，它们可被视为实现『惰性表』的原语：

def lazy_first(Cons): return Cons[]

def lazy_rest(Cons): return (Cons[])()
           

熟悉

Lisp

的朋友应该都知道

Cons

，但是这里的

Cons

和

Lisp

的

Cons

关系并不大，姑且只是将其看成一个二元组好了。可以看到，

lazy_first

直接利用索引取出了第一个元素；

lazy_rest

则首先取出第二个元素，并执行了一次函数调用；而从他们的名字可以看出，

lazy_first

被用来取出『惰性表』的第一个元素，

lazy_rest

则被用来取出剩余的元素并以列表的形式返回。

接下来，我们再实现两个函数6：

1. from_n接受一个整数n，返回一个从该整数起始的『惰性表』；例如，如果n为0，则我们得到一个自然数序列；

2. take_n接受一个整数n和一个『惰性表』，返回该表的前n项。

def from_n(n):
    return [n, lambda : from_n(n+)]

def take_n(n, lazy_list):
    if n==: return []
    else: return [lazy_first(lazy_list)] + take_n(n-, lazy_rest(lazy_list))

number = from_n() # -> [0, <function <lambda> at 0x1078d3578>]

take_n(, number) # -> [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

take_n(, number) # -> [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]
           

在

from_n

中，我们可以看到我们是怎么实现『惰性表』的：『惰性表』是一个二元组，第一个元素为表的内容，第二个元素为一个所谓「thunk」的东西——一个无参函数，此处用

lambda

表达式构造。这样一来，在

take_n

中的递归过程便不难理解了。

事实上，理解这里的『惰性表』的关键即在于理解thunk的作用：延迟计算。例如给定一个表达式 expr，经过

thunk

后，expr 的求值就被延迟了：

expr -> lambda : expr

；直到

thunk

被执行后，expr 才会被求值。这个概念用 Common Lisp 的宏7能很好的表达出来：

(defmacro delay (expr) `(lambda () ,expr)) ;; thunk it!

(defun force (thunk) (funcall thunk)) ;; force it to be evaluated.
           

这篇博文只是对『惰性求值』的一个简单介绍；我们看到，利用「thunk」，我们可以延迟计算从而实现『惰性表』这样的东西。下面是『惰性表』在 OCaml 与 Common Lisp 中的示例代码，以及一些引用。

OCaml8

type 'a seq = Nil
            | Cons of 'a * (unit -> 'a seq)

let first = function
  | Cons(x, _) -> x
  | Nil -> None

let rest = function
  | Cons(_, thunk) -> Some(thunk())
  | Nil -> None

let rec from_n k = Cons(k, fun() -> from_n(k+))

let rec take_n = function
  | , lst -> []
  | n, Nil -> []
  | n, Cons(x, thunk) -> x :: take_n(n-,thunk())
           

Common Lisp

(defmacro make-lazy-list (first rest)
  `(cons ,first #'(lambda () ,rest)))

(defun llst-first (llst) (car llst))

(defun llst-rest (llst) (funcall (cdr llst)))

(defun from-n (n)
  (make-lazy-list n (from-n (+ n))))

(defun take-n (n llst)
  (cond ((zerop n) nil)
    ((not (llst-first llst)) nil)
    (t (cons (llst-first llst)
         (take-n (- n) (llst-rest llst))))))

;;;; Since Common Lisp is my first language, I write two more example functions here.
;;;; 'map-llst' is just like Scheme's 'map', but not that powerful, of course.
;;;; It takes a function and a lazy list, then return another lazy list;
;;;; 'filter-llst' takes a predicate and a lazy list, then
;;;; return another lazy list which has been filtered out those 'incorrect' elements.

(defun map-llst (fn llst)
  (if (null llst)
      nil
      (make-lazy-list (funcall fn (llst-first llst))
              (map-llst fn (llst-rest llst)))))

(defun filter-llst (pred llst)
  (cond ((null llst) nil)
    ((funcall pred (llst-first llst))
     (make-lazy-list (llst-first llst)
             (filter-llst pred (llst-rest llst))))
    (t (filter-llst pred (llst-rest llst)))))

;;;; (setf numbers (from-n 0)) -> (0 . #<Closure (:INTERNAL FROM-N 0) @ #x20839d12>)
;;;; (setf squares (map-llst #'(lambda (x) (* x x)) numbers))
;;;; (setf even-numbers (filter-llst #'evenp numbers))
;;;; (take-n 10 numbers) -> (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
;;;; (take-n 10 squares) -> (0 1 4 9 15 25 36 49 64 81)
;;;; (take-n 10 even-numbers) -> (0 2 4 6 8 10 12 14 16 18)
           

1. Wikipedia, Lazy Evaluation ↩
2. 这个例子事实上来自于《计算机程序构造与解释》（SICP）一书的练习1.6 ↩
3. 这段实现并不完美，例如，当惰性表的长度不足「n」时，「take_n」函数将会有些难堪；这个问题在下面的另外两个实现中解决掉了。 ↩
4. 「宏」在Lisp中是一种强大的机制。简单的说，「宏」是一个函数，它接收一组「S-expression」并将其映射为另一组「S-expression」。想了解一些关于「宏」的知识可参见Wikipedia以及Paul Graham所著的《On Lisp》。 ↩
5. 这段实现多多少少参考了《ML for the Working Programmer》一书中的相关内容。 ↩