令人头秃的数学体系

文章目录

• ​​三大领域​​
• ​​基础数学：​​
• ​​应用数学：​​

• ​​计算数学与科学工程计算：​​
• ​​机器学习中的数学​​

在复习《离散数学》这门课的“代数系统”这章时，书上有句话说

群是一个很有实质用处的代数系统。就突然好奇啥用处，又找了下数学这么多分支领域的分类是怎样一个情况。

PS：立个flag今年一定要看《数学之美》这本书。

偶像图灵Alan Mathison Turing的数学贡献是数理逻辑（下图帅照镇楼）。

三大领域

有100多个学科分支的数学主要分为三大领域：

（1）数学中研究数的部分属于代数学的范畴；

（2）研究形的部分，属于几何学的范筹；

（3）沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

基础数学：

数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论

代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数

几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论,

杨–米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何

拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论 复流形

函数论： 函数逼近论.

泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 差分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程

微分方程：

泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程

非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力

系统.

数学物理：规范场论, 引力场论的经典理论与量子理论, 孤立子理论.

概率论：马氏过程, 随机过程, 随机分析, 随机场, 鞅论, 极限理论, 平稳过程, 概率论 统计学;

数理逻辑与数学基础：递归论, 模型论, 证明论, 公理集合证, 数理逻辑 范畴论

组合数学：组合计数, 图论.

分析学：序列、级数、可求和性 微积分 实变函数 抽象测度论 逼近与展开 特殊函数（单，多）复变函数论,调和分析, Fourier分析

应用数学：

边缘学科：系统论;控制论 运筹学, 位势论

计算数学与科学工程计算：

偏微分方程数值计算，初边值问题数值解法，非线性微分方程及其数值解法，边值问题数值解法，有限元、

边界元数值方法，变分不等式的数值方法，辛几何差分方法，数理方程反问题的数值解法，常微分方程数值解法及其应用，二点边值

问题, STIFF问题研究, 奇异性问题, 代数微分方程, 不确定性的数学理论, 分形论.大型稀疏矩阵求解, 代数特征值问题及其反问题,

非线性代数方程, 一般线性代数方程组求解, 快速算法.

函数逼近：多元样条, 多元逼近, 曲面拟合, 有理逼近, 散乱数据插值.

机器学习中的数学

第 1 部分：概率思想。

首先从条件概率和贝叶斯方法入手，阐明条件、独立、相关等基本概念，掌握联合、边缘的计算方法，构建起认知世界的概率思维体系。

第 2 部分：随机变量。

随机变量主干内容，从单一随机变量的分布过渡到多元随机变量的分析，最后重点阐述大数定理和中心极限定理，并初步接触蒙特卡洛方法，建立重要的极限思维。

第 3 部分：统计推断。

关注如何通过部分的样本集合推断出我们关心的总体特征，这在现实世界中非常重要。

在参数估计的思想方法基础上，我们重点关注极大似然估计和贝叶斯估计这两种方法。

第 4 部分：随机过程。我们将关注由一组随机变量构成的集合，即随机过程。

股票的波动、语音信号、视频信号、布朗运动等都是随机过程在现实世界中的实例。

在随机过程的基本概念之上，将重点分析马尔科夫链，梳理其由静到动的演变，探索变化的过程和不变的稳态。