相量和向量的区别详细介绍（并以电路电磁场中的量进行对照说明）

相量和向量的区别

正弦量本身是没有方向的标量，为了方便计算而引入相量这种工具，相量表现出了正弦量的有效值和相位；而表示力、电场强度、磁感应强度等的空间向量是有大小、有方向的矢量，箭头代表向量的方向，长度代表向量的大小。二者是有本质区别的。即相量本身是表示正弦量，向量本身则是表示既有大小又有方向的量。相量的模值是正弦量的有效值，向量的模值是表示量的大小。相量与坐标轴的夹角表示了正弦量的初相位，向量与坐标轴的夹角则表示了其在空间中的方向。

下面从数学运算的角度，再对两者进行观察。

向量

坐标形式：由坐标系下各个轴方向的基向量的大小 a ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ = ( x , y , z ) \vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=\left ( x,y,z \right ) a

=xi

+yj

​+zk

=(x,y,z)

加法：首尾相连，满足三角形法则。 a ⃗ + b ⃗ = （ x a + x b , y a + y b ） \vec{a}+ \vec{b}=（x_{a}+x_{b},y_{a}+y_{b}） a

+b

=（xa​+xb​,ya​+yb​）

数量积（点乘）： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ ( a ⃗ , b ⃗ ) \vec{a}\cdot \vec{b}=\left |a \right |\left | b \right |\cos \left ( \vec{a},\vec{b} \right ) a

⋅b

=∣a∣∣b∣cos(a

,b

)

向量积（叉乘）： a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ( a ⃗ , b ⃗ ) e z ⃗ \vec{a}\times \vec{b}=\left |a \right |\left | b \right |\sin \left ( \vec{a},\vec{b} \right )\vec{e_{z}} a

×b

=∣a∣∣b∣sin(a

,b

)ez​

​

相量

这里解释一点。正弦量用相量来表示的根由是，一个正弦量首先可以用一个复指数函数进行表示。我们平时常见到的复数是 a + b j = r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ j = r e j θ a+bj=r\cos \theta +r\sin \theta j=re^{j\theta } a+bj=rcosθ+rsinθj=rejθ的形式。通过这个式子，可以发现复数和正弦量可以对应起来，即一个复数的实部就是复数的幅值乘以一个角度的余弦。当我们把复数中的 θ \theta θ换成 ω t + φ \omega t+\varphi ωt+φ，然后我们来看下会发生什么。

r e j ( ω t + φ ) = r cos ⁡ ( ω t + φ ) + r sin ⁡ ( ω t + φ ) j re^{j(\omega t+\varphi)}=r\cos(\omega t+\varphi)+r\sin(\omega t+\varphi)j rej(ωt+φ)=rcos(ωt+φ)+rsin(ωt+φ)j R e [ r e j ( ω t + φ ) ] = r cos ⁡ ( ω t + φ ) Re[re^{j(\omega t+\varphi)}]=r\cos(\omega t+\varphi) Re[rej(ωt+φ)]=rcos(ωt+φ)

在只取实部的时候，就表示了一个角频率为 ω \omega ω，幅值为 r r r，初相位为 φ \varphi φ的正弦量。在正弦量的运算中，频率都是保持一致，并取有效值。所以在这里可以略去 e j ω t e^{j \omega t} ejωt。即一个正弦量 i = 2 I cos ⁡ ( ω t + φ ) i=\sqrt{2}I \cos(\omega t+\varphi) i=2

​Icos(ωt+φ)可以用复数表示为 i = R e [ 2 I e j φ e j ω t ] = R e [ 2 I ˙ e j ω t ] i=Re[\sqrt{2}Ie^{j\varphi}e^{j\omega t}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}e^{j\omega t}] i=Re[2

​Iejφejωt]=Re[2

​I˙ejωt]。相量 I ˙ = I e j φ \dot{I}=Ie^{j\varphi} I˙=Iejφ，其实相量也就是一个复数。所以相量的运算，其实也就是复数的运算，这一点和向量的运算是不同的。

坐标形式： A ˙ = A e j φ a = a 1 + j a 2 \dot{A}=Ae^{j\varphi_{a}}=a_{1}+ja_{2} A˙=Aejφa​=a1​+ja2​

加法：也满足三角形法则， A ˙ + B ˙ = ( a 1 + b 1 ) + j ( a 2 + b 2 ) \dot{A}+\dot{B}=(a_{1}+b_{1})+j(a_{2}+b_{2}) A˙+B˙=(a1​+b1​)+j(a2​+b2​)

乘法： A ˙ B ˙ = A B e j ( φ a + φ b ) \dot{A}\dot{B}=ABe^{j(\varphi_{a}+\varphi_{b})} A˙B˙=ABej(φa​+φb​)

除法： A ˙ / B ˙ = A B e j ( φ a − φ b ) \dot{A}/\dot{B}=ABe^{j(\varphi_{a}-\varphi_{b})} A˙/B˙=ABej(φa​−φb​)

注意：相量运算这里没有点乘，叉乘的说法。复数的运算结果还是复数。而向量运算完之后（如点乘），则会变成标量。

正弦电路中的复功率

在正弦电路中，复功率的定义为： S ˙ = U ˙ I ∗ ˙ = U I e j ( φ u − φ i ) = U I cos ⁡ ( φ u − φ i ) + j U I sin ⁡ ( φ u − φ i ) \dot{S}=\dot{U}\dot{I^*}=UIe^{j(\varphi_{u}-\varphi_{i})}=UI\cos(\varphi_{u}-\varphi_{i})+jUI\sin(\varphi_{u}-\varphi_{i}) S˙=U˙I∗˙=UIej(φu​−φi​)=UIcos(φu​−φi​)+jUIsin(φu​−φi​)。相量说到底就是个复数，在这里复功率的实部表示有功功率，虚部表示无功功率。

电磁场中的坡印廷矢量

在电磁场中，反映空间中某点电磁能量流动的能力方向的矢量是坡印廷矢量，它是电磁能流的功率密度。表达式为： S ⃗ = E ⃗ × H ⃗ \vec{S}=\vec{E}\times \vec{H} S

=E

×H

。它的模值大小反映了单位时间内穿过与电磁能流方向垂直的单位面积的电磁能量，它的方向便是电磁能量流动的方向。当电场强度和磁通密度不随时间变化时，波印廷矢量也便是一个常矢量。

正弦电磁场中的复坡印廷矢量

之所以介绍这个。是因为复坡印廷矢量既是一个向量，又是一个相量，比较特殊。上面介绍的正弦电路中的复功率，只是一个相量，或者说只是一个复数比较好理解。而静态场中的坡印廷矢量为一个常矢量，不随时间变化，只是一个单纯的向量。下面针对正弦电磁场中的复坡印廷矢量进行分析。

首先可以看出来的是在正弦电磁场中的电场强度和磁通密度也都同时有了两重身份：既是向量，又是相量。首先空间中的电场强度E它既是空间位置的函数，还是时间的函数。如果说我选定空间中某一点，那么电场强度就只是时间的函数了。

E ⃗ ( t ) = E x m cos ⁡ ( ω t + φ x ) e x ⃗ + E y m cos ⁡ ( ω t + φ y ) e y ⃗ + E z m cos ⁡ ( ω t + φ z ) e z ⃗ \vec{E}(t)=E_{xm}\cos(\omega t+\varphi_x)\vec{e_{x}}+E_{ym}\cos(\omega t+\varphi_y)\vec{e_{y}}+E_{zm}\cos(\omega t+\varphi_z)\vec{e_{z}} E

(t)=Exm​cos(ωt+φx​)ex​

​+Eym​cos(ωt+φy​)ey​

​+Ezm​cos(ωt+φz​)ez​

​ E ⃗ ( t ) = R e [ E x ˙ 2 e j ω t e x ⃗ + E y ˙ 2 e j ω t e y ⃗ + E z ˙ 2 e j ω t e z ⃗ ] = R e [ E ⃗ ˙ 2 e j ω t ] \vec{E}(t)=Re[\dot{E_{x}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{x}}+\dot{E_{y}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{z}}]=Re[\dot{\vec{E}}\sqrt{2}e^{j\omega t} ] E

(t)=Re[Ex​˙​2

​ejωtex​

​+Ey​˙​2

​ejωtey​

​+Ez​˙​2

​ejωtez​

​]=Re[E

˙2

​ejωt] E ⃗ ˙ = E x ˙ e x ⃗ + E y ˙ e y ⃗ + E z ˙ e z ⃗ \dot{\vec{E}}=\dot{E_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{E_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}} \vec{e_{z}} E

˙=Ex​˙​ex​

​+Ey​˙​ey​

​+Ez​˙​ez​

​

所以在空间中该点处这时的电磁能流密度就等于

S ⃗ ˙ = E ⃗ ˙ × H ⃗ ˙ \dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H}} S

˙=E

˙×H

˙针对这个式子，首先考虑向量的叉乘，即 S ⃗ ˙ = E ⃗ ˙ × H ⃗ ˙ = ∣ E ⃗ ˙ ∣ ∣ H ⃗ ˙ ∣ sin ⁡ ( E ⃗ ˙ , H ⃗ ˙ ) e z ⃗ \dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H}}=|\dot{\vec{E}}||\dot{\vec{H}}|\sin \left ( \dot{\vec{E}},\dot{\vec{H}} \right )\vec{e_{z}} S

˙=E

˙×H

˙=∣E

˙∣∣H

˙∣sin(E

˙,H

˙)ez​

​。后面的正弦值是两个相量之间夹角的正弦，而前面部分则是两个向量的模值相乘。 E ⃗ ˙ \dot{\vec{E}} E

˙和 H ⃗ ˙ \dot{\vec{H}} H

˙本身在x，y，z三个方向上均有值。需要注意，这个地方写的只是向量叉乘的定义。即叉乘的定义，确定了两个向量叉乘之后向量的模值和方向。当知道向量的坐标后，可以直接在坐标系下进行叉乘的坐标运算，如下所示

S ⃗ ˙ = ( E x ˙ e x ⃗ + E y ˙ e y ⃗ + E z ˙ e z ⃗ ) × ( H x ˙ e x ⃗ + H y ˙ e y ⃗ + H z ˙ e z ⃗ ) = [ e x ⃗ e y ⃗ e z ⃗ E x ˙ E y ˙ E z ˙ H x ˙ H y ˙ H z ˙ ] \dot{\vec{S}}=(\dot{E_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{E_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}} \vec{e_{z}}) \times (\dot{H_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{H_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{H_{z}} \vec{e_{z}})=\begin{bmatrix} \vec{e_{x}}&\vec{e_{y}} &\vec{e_{z}} \\ \dot{E_{x}}& \dot{E_{y}} & \dot{E_{z}}\\ \dot{H_{x}}& \dot{H_{y}} & \dot{H_{z}} \end{bmatrix} S

˙=(Ex​˙​ex​

​+Ey​˙​ey​

​+Ez​˙​ez​

​)×(Hx​˙​ex​

​+Hy​˙​ey​

​+Hz​˙​ez​

​)=⎣⎡​ex​

​Ex​˙​Hx​˙​​ey​

​Ey​˙​Hy​˙​​ez​

​Ez​˙​Hz​˙​​⎦⎤​ S ⃗ ˙ = [ E y ˙ E z ˙ H y ˙ H z ˙ ] e x ⃗ + [ E z ˙ E x ˙ H z ˙ H x ˙ ] e y ⃗ + [ E x ˙ E y ˙ H x ˙ H y ˙ ] e z ⃗ \dot{\vec{S}}=\begin{bmatrix} \dot{E_{y}} & \dot{E_{z}}\\ \dot{H_{y}} & \dot{H_{z}} \end{bmatrix}\vec{e_x}+\begin{bmatrix} \dot{E_{z}} & \dot{E_{x}}\\ \dot{H_{z}} & \dot{H_{x}} \end{bmatrix}\vec{e_y}+\begin{bmatrix} \dot{E_{x}} & \dot{E_{y}}\\ \dot{H_{x}} & \dot{H_{y}} \end{bmatrix}\vec{e_z} S

˙=[Ey​˙​Hy​˙​​Ez​˙​Hz​˙​​]ex​

​+[Ez​˙​Hz​˙​​Ex​˙​Hx​˙​​]ey​

​+[Ex​˙​Hx​˙​​Ey​˙​Hy​˙​​]ez​

​ S ⃗ ˙ = ( E y ˙ H z ˙ − E z ˙ H y ˙ ) e x ⃗ + ( E z ˙ H x ˙ − E x ˙ H z ˙ ) e y ⃗ + ( E x ˙ H y ˙ − E y ˙ H x ˙ ) e z ⃗ \dot{\vec{S}}=(\dot{E_{y}}\dot{H_{z}}-\dot{E_{z}}\dot{H_{y}})\vec{e_x}+(\dot{E_{z}}\dot{H_{x}}-\dot{E_{x}}\dot{H_{z}})\vec{e_y}+(\dot{E_{x}}\dot{H_{y}}-\dot{E_{y}}\dot{H_{x}})\vec{e_z} S

˙=(Ey​˙​Hz​˙​−Ez​˙​Hy​˙​)ex​

​+(Ez​˙​Hx​˙​−Ex​˙​Hz​˙​)ey​

​+(Ex​˙​Hy​˙​−Ey​˙​Hx​˙​)ez​

​

到这一步，可以看到在进行了向量的叉乘坐标运算后，叉乘所得向量的每一个分量都是两个相量相乘然后做差。也就是说最终复坡印廷矢量的三个分量，还是由电场强度、磁通密度各部分分量相量相乘之后得到的。实际上电场强度 E ⃗ ˙ \dot{\vec{E}} E

˙（大小和相位）由电压 U ˙ \dot{U} U˙（标量，或者说电势）所决定，磁通密度 B ⃗ ˙ \dot{\vec{B}} B

˙（大小和相位）由电流 I ˙ \dot{I} I˙所决定。而 U ˙ \dot{U} U˙和 I ˙ \dot{I} I˙两个复数之间的相角差，决定了有功、无功的大小分配。所以 E ⃗ ˙ \dot{\vec{E}} E

˙和 H ⃗ ˙ \dot{\vec{H}} H

˙各个分量复数之间的相角差，也同样代表了功率因数角。故实际的复坡印廷矢量的表达式为

S ⃗ ˙ = E ⃗ ˙ × H ∗ ⃗ ˙ \dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H^*}} S

˙=E

˙×H∗

˙它的实部就是坡印廷矢量的平均值（或有功功率密度），表示能量的流动；虚部是无功功率密度，表示着电磁能量的交换。