互相关延时估计加权函数性能分析
广义互相关函数法是通过首先求出俩信号之间的互功率谱，然后在频域内给予一定的加权，以此对信号和噪音进行白化处理，从而增强信号中信噪比较高的频率成分，抑制噪声的影响，最后再反变换到时域，得到两信号之间的互相关函数，即：
（1）
其中是广义互相关加权函数。广义互相关加权函数的选择主要基于俩个方面：噪声和反射情况。根据不同的情况选择加权函数，其目的就是使具有比较尖锐的峰值。峰值处就是俩个传感器之间的时延。
由于来自同一声源的信号存在一定的相关性，通过计算不同麦克风所接受到的信号之间的相关函数，就可以估计出TDOA值。然而在实际环境中，由于噪声和混响的影响，相关函数的最大峰会被弱化，有时还会出现多个峰值，这些都造成了实际峰值的检测困难。此时就通过加权的方法来锐化峰值，通常我们通过时间、精度来确定算法的合理性。
- 广义互相关函数模拟
clear all; clc; close all;
N=1024; %长度
Fs=500; %采样频率
n=0:N-1;
t=n/Fs; %时间序列
a1=5; %信号幅度
a2=5;
d=2; %延迟点数
x1=a1*cos(2*pi*10*n/Fs); %信号1
x1=x1+randn(size(x1)); %加噪声
x2=a2*cos(2*pi*10*(n+d)/Fs); %信号2
x2=x2+randn(size(x2));
subplot(211);
plot(t,x1,'r');
axis([-0.2 1.5 -6 6]);
hold on;
plot(t,x2,':');
axis([-0.2 1.5 -6 6]);
legend('x1信号', 'x2信号');
xlabel('时间/s');ylabel('x1(t) x2(t)');
title('原始信号');grid on;
hold off
%互相关函数
X1=fft(x1,2*N-1);
X2=fft(x2,2*N-1);
Sxy=X1.*conj(X2);
Cxy=fftshift(ifft(Sxy));
%Cxy=fftshift(real(ifft(Sxy)));
subplot(212);
t1=(0:2*N-2)/Fs; %注意
plot(t1,Cxy,'b');
title('互相关函数');xlabel('时间/s');ylabel('Rx1x2(t)');grid on
[max,location]=max(Cxy);%求出最大值max,及最大值所在的位置（第几行）location;
%d=location-N/2-1 %算出延迟了几个点
d=location-N
Delay=d/Fs %求得时间延迟
可以看出，通过互相关函数的求解d=2，delay=0.0040，这和我们给出的信号的时延d/Fs=0.0040是一致的。这表明互相关函数可以给出信号的时延估计。
- PHAT-GCC模拟
clear all; clc; close all;
N=1024; %长度
Fs=500; %采样频率
n=0:N-1;
t=n/Fs; %时间序列
a1=5; %信号幅度
a2=5;
d=9; %延迟点数
x1=a1*cos(2*pi*10*n/Fs); %信号1
x1=x1+randn(size(x1)); %加噪声
%x1=x1.*hamming(max(size(x1)))';%加窗
x2=a2*cos(2*pi*10*(n+d)/Fs); %信号2
x2=x2+randn(size(x2));
%x2=x2.*hamming(max(size(x2)))';%加窗
subplot(211);
plot(t,x1,'r');
axis([-0.2 2 -6 6]);
hold on;
plot(t,x2,':');
axis([-0.2 2 -6 6]);
legend('x1信号', 'x2信号');
xlabel('时间/s');ylabel('x1(t) x2(t)');
title('原始信号');grid on;
hold off
%互相关函数
X1=fft(x1,2*N-1);
X2=fft(x2,2*N-1);
Sxy=X1.*conj(X2);
%Cxy=fftshift(ifft(Sxy));
Cxy=fftshift(ifft(Sxy./abs(Sxy)));
subplot(212);
t1=(-N+1:N-1)/Fs;
plot(t1,Cxy,'b');
title('Rx1x2');xlabel('t/s');ylabel('Rx1x2(t)');grid on
[max,location]=max(Cxy);
%d=location-N/2-1
d=location-N
Delay=d/Fs %求得时间延迟
我们可以看见结果是d=1,delay=0.0020，而实例中给出的时延为d/fs=0.016，这并不表示PHAT-GCC算法是错误的，只是因为，我们在信号中加入了均值为0，方差为1的高斯白噪音，所以才会导致了误差的存在。
- ROTH-GCC模拟
clear;
N=1024;%信号长度
fs=500;%采样频率
n=0:N-1;
t=n/fs;%时间序列
a1=5;%信号幅度
a2=5;%信号幅度
d=2;%延迟点数
x1=a1*sin(2*pi*10*n/fs);
x2=a2*sin(2*pi*10*(n+d)/fs);
%x2=awgn(x1./4,-3); %噪声强度大于信号
%x2=x2 .* hamming(N);
x1=x1+randn(size(x1)); %加入噪声
x2=x2+randn(size(x2));
S1=fft(x1,2*N-1);
S2=fft(x2,2*N-1);
S12 = S1.* conj(S2);
S11 = S1.* conj(S1);
R1 =real(fftshift(ifft(S12./abs(S11))));
ts=(-N+1:N-1)/fs;
plot(ts,R1);
xlabel('时间/s');ylabel('R1(t)');
title('互相关函数');
[max,location]=max(R1);
%d=location-N/2-1
d=location-N
Delay=d/fs
- SCOT-GCC模拟
clear;
N=1024;%信号长度
fs=1000;%采样频率
n=0:N-1;
t=n/fs;%时间序列
ts = 1/fs * (-N + (1 : 2*N - 1)); %互相关时间序列
a1=5;%信号幅度
a2=5;%信号幅度
d=26;%延迟点数
x1=a1*sin(2*pi*10*t)+1.9*sin(2*pi*18*t)+2.8*sin(2*pi*55*t);
x2=a2*sin(2*pi*10*(n+d)/fs)+1.9*sin(2*pi*18*(n+d)/fs)+2.8*sin(2*pi*55*(n+d)/fs);
%x2=awgn(x1./4,-3); %噪声强度大于信号
%x2=x2 .* hamming(N);
x=awgn(x1,20); %加入噪声
y=awgn(x2,0.001);
S1=fft(x,2*N-1);
S2=fft(y,2*N-1);
X = S1.* conj(S2);
X11 = S1.* conj(S1);
X22 = S2.* conj(S2);
Y=sqrt(X11.*X22);
R1 =real(fftshift(ifft(X./Y)));
plot(ts,R1);
xlabel('时间/s');ylabel('R1(t)');
title('ifft计算结果')
[max,location]=max(R1);
%d=location-N/2-1
d=location-N
Delay=d/fs
- 相同信噪比不同算法的比较
clear all; clc; close all;
N=1024; %长度
Fs=500; %采样频率
n=0:N-1;
t=n/Fs; %时间序列
a1=30; %信号幅度
a2=30;
d=9; %延迟点数
x1=a1*cos(2*pi*10*n/Fs); %信号1
x1=awgn(x1,20); %加噪声
%x1=x1.*hamming(max(size(x1)))';%加窗
x2=a2*cos(2*pi*10*(n+d)/Fs); %信号2
x2=awgn(x2,20);
%x2=x2.*hamming(max(size(x2)))';%加窗
subplot(511);
plot(t,x1,'r');
axis([-0.2 2 -40 40]);
hold on;
plot(t,x2,':');
axis([-0.2 2 -40 40]);
legend('x1信号', 'x2信号');
xlabel('时间/s');ylabel('x1(t) x2(t)');
title('原始信号');grid on;
%互相关函数
tic
X1=fft(x1,2*N-1);
X2=fft(x2,2*N-1);
Sxy=X1.*conj(X2);
%Cxy=fftshift(ifft(Sxy));
%GCC
Cxy=fftshift(ifft(Sxy));
subplot(512);
t1=(-N+1:N-1)/Fs;
plot(t1,Cxy,'b');
title('GCC');xlabel('t/s');ylabel('Cxy');grid on;
[max1,location1]=max(Cxy);
%d=location-N/2-1
d1=location1-N
Delay1=d1/Fs %求得时间延迟
toc
%phat-gcc
tic
X1=fft(x1,2*N-1);
X2=fft(x2,2*N-1);
Sxy=X1.*conj(X2);
Pxy=fftshift(ifft(Sxy./abs(Sxy)));
subplot(513);
t1=(-N+1:N-1)/Fs;
plot(t1,Pxy,'b');
title('phat-gcc');xlabel('t/s');ylabel('Pxy');grid on;
[max2,location2]=max(Pxy);
%d=location-N/2-1
d2=location2-N
Delay2=d2/Fs %求得时间延迟
toc
%rhat-gcc
tic
X1=fft(x1,2*N-1);
X2=fft(x2,2*N-1);
Sxy=X1.*conj(X2);
S11 = X1.* conj(X1);
Rxy=fftshift(ifft(Sxy./abs(S11)));
subplot(514);
t1=(-N+1:N-1)/Fs;
plot(t1,Rxy,'b');
title('phat-gcc');xlabel('t/s');ylabel('Rxy');grid on;
[max3,location3]=max(Rxy);
%d=location-N/2-1
d3=location3-N
Delay3=d3/Fs %求得时间延迟
toc
%scot-gcc
tic
X1=fft(x1,2*N-1);
X2=fft(x2,2*N-1);
Sxy=X1.*conj(X2);
S11 = X1.* conj(X1);
S22 = X2.* conj(X2);
Y=sqrt(S11.*S22);
SCxy=fftshift(ifft(Sxy./Y));
subplot(515);
t1=(-N+1:N-1)/Fs;
plot(t1,SCxy,'b');
title('scot-gcc');xlabel('t/s');ylabel('SCxy');grid on;
[max4,location4]=max(SCxy);
%d=location-N/2-1
d4=location4-N
Delay4=d4/Fs %求得时间延迟
toc
- SNR=0时
- SNR=10时：
- SNR=20时
- SNR=50时