图及图的存储

一、图的有关概念

1、什么是图

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)

其中：顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的； Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。

图分为无向图和有向图。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y) 称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边。无向边 (x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

2、顶点和边

如下图：

图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。

两个顶点vi和vj相关联，称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

3、完全图

在有n个顶点的无向图中，

若有n*(n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图；

在n个顶点的有向图中，

若有n*(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图。

4、邻接顶点

在无向图中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u, v)依附于顶点u和v；

在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

5、顶点的度

顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。

在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);

顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。

因此： dev(v) = indev(v) + outdev(v)

对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)

6、权与路径长度

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

权：边附带的数据信息

所以路径长度指的就是，

对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；

对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

7、子图

设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

8、连通图与强连通图

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。

9、生成树

一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n1条边。

二、图的存储

1、邻接矩阵

我们在存储一个图时，不但要存储其顶点，还要存储好顶点之间的关系，也就是边。对于有向图来说，我们还要记录好边的方向。可以使用邻接矩阵来实现。

将所有顶点的信息组织成一个顶点表，然后利用一个矩阵来表示个顶点之间的邻接关系。

举例如下：

那带权的呢？把上图中的1改成各条边的权值即可，可将0（除过对角线）改为∞，如下：

由图可知：

无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。

有向图的邻接矩阵则不一定是对称的。

简单实现图的邻接矩阵的存储，代码如下：

#pragma once
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<assert.h>

template<class V, class W, bool IsDirect = false>
class Graph
{
public:
  Graph(V *array, size_t size)  
    :_v(array, array + size)
  {
    /*v.resize(size);
    for (size_t i = 0; i < size; ++i)
    {
      _v[i] = array[i];
    }*/

    //边的空间
    _edges.resize(size);
    for (size_t i = 0; i < size; i++)
      _edges[i].resize(size);
  }

  //寻找顶点元素在数组中的下标
  size_t GetIndexOfV(const V& v)
  {
    for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
    {
      if (v == _v[i])
        return i;
    }
    //找不到，出错
    assert(false);
    return -1;
  }


  //求顶点的度
  size_t GetDevOfV(const V& v)
  {
    size_t index = GetIndexOfV(v);
    size_t count = 0;
    for (size_t i = 0; i < _v.size(); i++)
    {
      if (_edges[index][i])
        count++;
    }
    if (IsDirect)
    {
      //有向图   
      for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
      {
        if (_edges[i][index])
          count++;
      }
    }
    return count;
  }
  //带权值的边
  void AddEdge(const V& v1, const V& v2, const W& weight)
  {
    size_t index1 = GetIndexOfV(v1);
    size_t index2 = GetIndexOfV(v2);

    _edges[index1][index2] = weight;
    if (!IsDirect)
      _edges[index2][index1] = weight;
  }
  void PrintGraph()
  {
    size_t n = _v.size();
    for (size_t i = 0; i <n ; ++i)
    {
      cout << _v[i] << "  ";
    }
    cout << endl;

    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
      for (size_t j = 0; j < n; ++j)
      {
        //cout << _edges[i][j];
        printf("  %-2d", _edges[i][j]);
      }
      cout << endl;
    }
  }
private:
  vector<V> _v;  //顶点
  vector<vector<W>> _edges;  //边
};

测试一下：

void TestGraph()
{
  char *pStr = "ABCDE";
  Graph<char, int, true> g(pStr, strlen(pStr));
  g.AddEdge('A', 'D', 10);
  g.AddEdge('A', 'E', 20);
  g.AddEdge('B', 'C', 10);
  g.AddEdge('B', 'D', 20);
  g.AddEdge('B', 'E', 30);
  g.AddEdge('C', 'E', 40);

  g.PrintGraph();
  cout << g.GetDevOfV('B') << endl;
}

邻接矩阵形式存储图结构，当e远远小于n^2时，大量的元素是0，造成空间浪费。

所以又有一种存储方式，叫邻接表。

2、邻接表

使用数组表示顶点的集合，使用链表示边的关系。

举例如下：

无向图：

由图可知：

无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。

如果想知道某顶点的度，只需要知道该顶点链表集合中结点的数目即可。

再来看有向图：

由图可知：

有向图中每条边在邻接表中只出现一次。

与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表。

要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。

简单实现图的邻接表存储，代码如下：

template<class W>
struct Node
{
  Node *_pNext;
  W _weight;
  size_t _src;
  size_t _dst;        //终点的下标

  Node(size_t src, size_t dst, const W& weigt)
    :_src(src)
    , _dst(dst)
    , _weight(_weight)
    , _pNext(NULL)
  {}
};

template < class V, class W,bool IsDirect=false>
class Graph
{
  typedef Node<W> Node;
  typedef Node* pNode;
public:
  Graph(const V* array, size_t size)
    :_v(array,array+size)
  {
    _linkEdges.resize(size);
  }

  //寻找顶点元素在数组中的下标
  size_t GetIndexOfV(const V& v)
  {
    for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
    {
      if (v == _v[i])
        return i;
    }
    //找不到，出错
    assert(false);
    return -1;
  }

  //加边
  void AddEdge(const V& v1, const V& v2,const W& weight)
  {
    size_t src = GetIndexOfV(v1);
    size_t dst = GetIndexOfV(v2);

    //头插,检测是否重复插入
    _AddEdge(src, dst, weight);
    if (!IsDirect)
      _AddEdge(dst, src, weight);
  }
  //求顶点的度
  size_t GetDevOfV(const V& v)
  {
    size_t count = 0;
    size_t src = GetIndexOfV(v);

    pNode pCur = _linkEdges[src];

    //出度
    while (pCur)
    {
      count++;
      pCur = pCur->_pNext;
    }
    //入度
    if (!IsDirect)
    {
      for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
      {
        pNode pTmp = _linkEdges[i];
        while (pTmp)
        {
          if (_linkEdges[i]->_dst == src)
            count++;
          pTmp = pTmp->_pNext;
        }
      }
    }
    return count;
  }
  void PrintGraph()
  {
    size_t n = _v.size();
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
      cout << _v[i] << "  ";
    }
    cout << endl;

    for (size_t i = 0; i < _v.size(); ++i)
    {
      pNode pTmp = _linkEdges[i];
      if (pTmp)
      {
        cout << pTmp->_src << "  ";
        while (pTmp)
        {
          cout << pTmp->_dst << "  ";
          pTmp = pTmp->_pNext;
        }
        cout << endl;
      }
    }
  }
private:
  void _AddEdge(size_t src, size_t dst, const W& weight)
  {
    //找链表
    pNode pCur = _linkEdges[src];

    while (pCur)
    {
      if (pCur->_dst == dst)
        return;
      pCur = pCur->_pNext;
    }

    //头插
    pNode pNewNode = new Node(src, dst, weight);
    pNewNode->_pNext = _linkEdges[src];
    _linkEdges[src] = pNewNode;
  }
private:
  vector<V> _v;
  vector<pNode> _linkEdges;
};

测试一下：

void TestGraph()
{
  char *pStr = "ABCDE";
  Graph<char, int, true> g(pStr, strlen(pStr));
  g.AddEdge('A', 'D', 10);
  g.AddEdge('A', 'E', 20);
  g.AddEdge('B', 'C', 10);
  g.AddEdge('B', 'D', 20);
  g.AddEdge('B', 'E', 30);
  g.AddEdge('C', 'E', 40);

  g.PrintGraph();
  cout << g.GetDevOfV('A') << endl;
}

观察结果：

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