移动标准差以及移动平均值(movstd、movmean)

最近在工作中遇到这样一个问题：

有一个序列长度为 n n n 的序列 T = [ t 0 , t 1 , … , t n − 1 ] T=[t_0, t_1, \dots, t_{n-1}] T=[t0​,t1​,…,tn−1​]，给定一个窗大小 m ( m < = n ) m (m <= n) m(m<=n)，下标从0开始，计算窗大小的均值和标准差，即计算T[0:m-1]、T[1:m]、T[2:m+1]…T[n-m+1:n] 的平均值和标准差

暴力解法

最简单的无脑的方法就是暴力循环了，很明显这种方法特别慢，时间复杂度为 O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)

下面为你呈现暴力代码

import numpy as np
import time 
           

# generate time sequence
n = 1000 * 1000
m = 1000
T = np.random.rand(n)
           

# brute force
means = np.zeros(n - m + 1)
stds = np.zeros(n - m + 1)

start_time = time.time()
for i in range(n - m + 1):
    means[i] = np.mean( T[i:i+m] )
end_time = time.time()
print('Running time of brute force for mean is {}s'.format((end_time - start_time)))

start_time = time.time()
for i in range(n - m + 1):
    stds[i] = np.std( T[i:i+m] )
end_time = time.time()
print('Running time of brute force for std is {}s'.format((end_time - start_time)))
           

Running time of brute force for mean is 5.774143934249878s
Running time of brute force for std is 20.721827030181885s
           

movmean

有没有办法进行优化呢？这里介绍移动标准差(movstd)和移动平均值(movmean)

先从移动平均值(movmean)开始，它很简单并且符合直觉：在滑动的过程中，有很多重叠部分，我们可以利用重叠的部分，从而节约计算时间

如上图所示，计算时可以利用前一个均值，这样就避免了不必要的加法操作，平均值的计算复杂度降低为 O ( n ) O(n) O(n)

μ i ∗ m = ( t i + t i + 1 + ⋯ + t i + m − 1 ) \mu_i*m = (t_i + t_{i+1} + \dots + t_{i+m-1}) μi​∗m=(ti​+ti+1​+⋯+ti+m−1​)

μ i + 1 ∗ m = μ i ∗ m − t i + t m \mu_{i+1}*m = \mu_i*m - t_i + t_m μi+1​∗m=μi​∗m−ti​+tm​

下面代码显示了如何实现 movmean

def movmean(T, m):
    assert(m <= T.shape[0])
    n = T.shape[0]
    
    sums = np.zeros(n - m + 1)
    sums[0] = np.sum(T[0:m])
    
    cumsum = np.cumsum(T)
    cumsum = np.insert(cumsum, 0, 0) # 在数组开头插入一个0
    
    sums = cumsum[m:] - cumsum[:-m]
    return sums/m
           

start_time = time.time()
means_2 = movmean(T, m)
end_time = time.time()
print('Running time of movmean is {}s'.format((end_time - start_time)))
           

Running time of movmean is 0.009449005126953125s
           

movstd

在介绍移动标准差之前，我们先回顾下标准差计算公式：

σ = 1 m ∑ i = 1 m ( t i − u ) 2 \sigma = \sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m(t_i - u)^2} σ=m1​i=1∑m​(ti​−u)2

​

假设有一个长度为 3 的序列 [a, b, c]，我们来计算一下它的标准差

首先计算均值：

μ = 1 m ( a + b + c ) \mu = \frac{1}{m}(a+b+c) μ=m1​(a+b+c)

然后标准差：

σ = 1 3 ( ( a − μ ) 2 + ( b − μ ) 2 + ( c − μ ) 2 ) = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 − 2 a μ − 2 b μ − 2 c μ + μ 2 ) = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − ( 1 3 ( a + b + c ) ) 2 \begin{array}{l} \sigma &= \sqrt{ \frac{1}{3} ((a-\mu)^2 + (b-\mu)^2 + (c-\mu)^2)} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3} (a^2 + b^2 + c^2 -2a\mu - 2b\mu - 2c\mu + \mu^2)} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) - (\frac{1}{3}(a+b+c))^2 } \\ \end{array} σ​=31​((a−μ)2+(b−μ)2+(c−μ)2)

​=31​(a2+b2+c2−2aμ−2bμ−2cμ+μ2)

​=31​(a2+b2+c2)−(31​(a+b+c))2

​​

我们可以发现，标准差的计算可以用累计和来表示，而累加和是可以在 O ( n ) O(n) O(n)时间内完成，这就是 movstd

下面的代码展示了如何计算 movstd

def movstd(T, m):
    n = T.shape[0]
    
    cumsum = np.cumsum(T)
    cumsum_square = np.cumsum(T**2)
    
    cumsum = np.insert(cumsum, 0, 0)               # 在数组开头插入一个0
    cumsum_square = np.insert(cumsum_square, 0, 0) # 在数组开头插入一个0
    
    seg_sum = cumsum[m:] - cumsum[:-m]
    seg_sum_square = cumsum_square[m:] - cumsum_square[:-m]
    
    return np.sqrt( seg_sum_square/m - (seg_sum/m)**2 )
           

start_time = time.time()
stds_2 = movstd(T, m)
end_time = time.time()
print('Running time of movstd is {}s'.format((end_time - start_time)))
           

Running time of movstd is 0.03198814392089844s
           

总结

通过提前计算好累计和，移动平均和移动标准差以空间换时间，算法速度比起暴力方法提升了几个数量级