高等代数 具有度量的线性空间(第10章)3 正交补,正交投影,正交变换,对称变换

一.正交补与正交投影(10.3)

1.正交补

(1)概念:

注意: S S S本身不一定是线性空间/实内积空间 V V V的1个子空间,但 S ⊥ S^⊥ S⊥一定是线性空间/实内积空间 V V V的1个子空间

(2)性质:

定理1:设 U U U是实内积空间 V V V的1个有限维非零子空间,则 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥

推论1:若 V V V是欧几里得空间, U U U是 V V V的1个非平凡子空间,则从定理1得 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥,于是 U U U的1个标准正交基与 U ⊥ U^⊥ U⊥的1个标准正交基合起来是 V V V的1个标准正交基

2.正交投影

(1)概念:

(2)判定:

定理2:设 U U U是实内积空间 V V V的1个子空间,且 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥,则对于 α ∈ V , α 1 ∈ U α∈V,α_1∈U α∈V,α1​∈U是 α α α在 U U U上的正交投影的充要条件是: d ( α , α 1 ) ≤ d ( α , γ )   ( ∀ γ ∈ U ) ( 4 ) d(α,α_1)≤d(α,γ)\,(∀γ∈U)\qquad(4) d(α,α1​)≤d(α,γ)(∀γ∈U)(4)

3.最佳逼近元

(1)概念:

(2)逼近无限维实内积空间中的向量:

(3)通过最佳逼近元定义无限维子空间上的正交投影:

4.最小二乘解:

二.正交变换(10.4)

1.正交变换的概念:

注:限定 Ꭿ Ꭿ Ꭿ为满射是为了保证 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在 V V V为无限维时也可逆,而 Ꭿ Ꭿ Ꭿ为单射可被推出,故无需说明

2.正交变换的性质

(1)关于度量的性质:

命题1:若 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是实内积空间 V V V上的正交变换,则 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持向量的长度不变, Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 V V V上的线性变换, Ꭿ Ꭿ Ꭿ是单射

性质1:正交变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持2个非零向量的夹角不变

性质2:正交变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持向量的正交性不变,即 α ⊥ β ⇔ Ꭿ α ⊥ Ꭿ β α⊥β⇔Ꭿα⊥Ꭿβ α⊥β⇔Ꭿα⊥Ꭿβ

性质3:正交变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持向量间的距离不变

(2)关于判定的性质:

命题2:实内积空间 V V V上的1个变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是正交变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 V V V到自身的1个保距同构

推论1:实内积空间 V V V上的正交变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是可逆变换,并且其逆变换 Ꭿ − 1 Ꭿ^{-1} Ꭿ−1也是 V V V上的正交变换

命题3: n n n维欧几里得空间 V V V上的变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ如果保持向量的内积不变,则 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是正交变换

命题5: n n n维欧几里得空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是正交变换

  ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ ⇔Ꭿ把 V V V的标准正交基映成标准正交基

  ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ ⇔Ꭿ在 V V V的标准正交基下的矩阵 A A A是正交矩阵

(3)关于运算的性质:

命题4:实内积空间 V V V上2个正交变换的乘积还是正交变换

(4)其他性质:

命题6:设 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是实内积空间 V V V上的1个正交变换,如果 Ꭿ Ꭿ Ꭿ有特征值,那么 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的特征值必为 ± 1 ±1 ±1

3.反射

(1)超平面:

(2)反射的概念:

(3)反射的性质:

命题7: n n n维欧几里得空间 V V V中,关于超平面 ⟨ η ⟩ ⊥ \langle η\rangle^⊥ ⟨η⟩⊥的反射是第2类的正交变换

4.正交补的性质:

命题8:设 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是实内积空间 V V V上的1个正交变换, W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的1个有限维不变子空间,则 W ⊥ W^⊥ W⊥也是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不变子空间

5.正交变换的矩阵的最简形式:

定理3:设 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n维欧几里得空间 V V V上的1个正交变换,则 ∃ V ∃V ∃V的1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在这个基下的矩阵具有如下形式: d i a g { λ 1 . . . λ r , [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] . . . [ cos ⁡ θ m − sin ⁡ θ m sin ⁡ θ m cos ⁡ θ m ] } ( 3 ) diag\{λ_1...λ_r,\left[\begin{matrix}\cosθ_1&-\sinθ_1\\\sinθ_1&\cosθ_1\end{matrix}\right]...\left[\begin{matrix}\cosθ_m&-\sinθ_m\\\sinθ_m&\cosθ_m\end{matrix}\right]\}\qquad(3) diag{λ1​...λr​,[cosθ1​sinθ1​​−sinθ1​cosθ1​​]...[cosθm​sinθm​​−sinθm​cosθm​​]}(3)

其中 λ i = ± 1   ( i = 1 , 2... r ) , 0 ≤ r ≤ n , 0 < θ j < π   ( j = 1 , 2... m ) , 0 ≤ m ≤ n 2 λ_i=±1\,(i=1,2...r),0≤r≤n,0<θ_j<\pi\,(j=1,2...m),0≤m≤\frac{n}{2} λi​=±1(i=1,2...r),0≤r≤n,0<θj​<π(j=1,2...m),0≤m≤2n​

推论1: n n n级正交矩阵一定正交相似于形如 ( 3 ) (3) (3)式的分块对角矩阵

三.对称变换(10.4)

1.概念:

2.性质:

命题9:实内积空间 V V V上的对称变换一定是线性变换

命题10:设 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是实内积空间 V V V上的1个对称变换,如果 W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不变子空间,那么 W ⊥ W^⊥ W⊥也是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不变子空间

3.判定:

命题11: n n n维欧几里得空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是对称变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在 V V V的任意1个标准正交基下的矩阵是对称矩阵

4.对称变换的矩阵的最简形式:

定理4:设 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n维欧几里得空间 V V V上的1个对称变换,则 V V V中存在1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在这个基下的矩阵 A A A为对角矩阵