文 | 阿尔法
编辑 | 阿尔法
表面等离激元是指金属的自由电子集体震荡产生的一种准粒子，可局域在纳米颗粒的表面，也可沿着金属和介电层之间的界面处传播。
表面等离激元的产生、传播以及和光子的相互作用可以用经典的麦克斯韦理论来解释和模拟。
本章对超表面的理论基础—表面等离激元的产生和传播进行简要介绍，后介绍了手性相关的SPP 传播模型。
一、表面等离激元基本原理
（一）表面等离激元基本介绍
金属材料有大量的自由电子，在外界电磁场的作用下这些电子可以产生集体振荡，即激发表面等离激元。
金属材料的频率谐振公式由式（2-1）表示，其中pw 是等离激元的频率，n是金属电子密度，m是电子有效质量，e是电子电荷，0是真空介电常数：
当将金属材料制备成亚波长纳米结构时，表面等离激元会被限制在纳米结构的表面上形成局域表面等离激元（LSPR）。
局域表面等离激元共振可以将电场限制在非常小的体积内，提供了一种在纳米尺度下操控电磁场的方法。
另一类是传播型的表面等离子体极化激元（SPP），即在金属和介质界面上，电磁波可以转换为沿界面传播的SPP。
由于动量不匹配的原因，SPP的波长比入射电磁波的波长要小，这使得它可以在更小尺寸的波导中传播，可以被用来突破光的衍射极限，并制备更小的光子学器件。
SPP电场的空间分布如图2-2所示，在周围的介质中场强呈指数式衰减。进入电介质的衰减长度约为2n，其中n是电介质的折射率。
对于光谱可见部分中的大多数金属，其衰减长度约为20 nm。从这些场的倏逝性质可以明显看出，光场的限制仅限于表面附近。
与该限制有关的是与表面相邻的电场强度的增强。该增强的电场强度 可以增强周围物质与光的相互作用，后面我们将讨论利用超表面来增强光与二维材料的相互作用。
（二）表面等离极化激元的传播
在这里，我们主要关注沿着金属和电介质界面传播的表面等离极化激元（SPP）。
通过在包含两种半无限大介质（金属和电介质）的无源空间区域中求解麦克斯韦方程组，可以计算出与这些模式相关的场分布及其色散关系。
通过在适当的边界条件下求解麦克斯韦方程，并寻找采用表面波形式的解，就可以得到色散关系， 即SPP模式的面内波矢如何频率变化。
以图2-3所示的结构为例，在该结构中麦 克斯韦方程组可以表达为：
其中m代表金属的介电常数， d代表介电层的介电常数，r分别代表了金属m和介电层d。
EàWi6q为电场强度，B \i为磁通密度，H°i6q 为磁场强度，D0ei6q为电位移。通过对麦克斯韦方程组求解，可以得到两组解。
一组描述电场平行于x-y平面的横向电（TE）模式，另一组描述磁场平行于x-y平面的横向 磁（TM）模式。
由于SPP被激发后沿x轴传播，且波矢 (,0,)x r zrK =K K在x-z平面 上，由此我们选择对应于TM模式的解。在TM模式中，磁场平行于界面且垂直于 波的传播方向（zH）。
而电场则有两个分量，一个沿着传播方向（xE），另一个沿着表面的法线方向（yE）。介质和金属内部的电场和磁场可以表示为。
二、有限时域差分算法（FDTD）
（一）麦克斯韦方程和Yee元胞
FDTD方法是纳米光子学理论模拟中最常用的方法之一。该方法将时间和空间 都离散化，即将麦克斯韦旋度方程中所有的时空导数都换成有限差分商。
本节简要介绍了常用的Yee算法原理，更详细的说明可以在参考文献中找到。 在有源电流和电荷的情况下，麦克斯韦方程的微分形式如下。
由式（2-20）可知，时间增量为n+1 2时的磁场由时间增量为n−1 2时的磁场和时 间增量n时的电场推导计算得到。
这个过程可以很容易地推广到式的其他分量 中，其中n+1时刻的电场由n时刻的电场和n+1 2时刻的磁场推导而来。这样就可以 通过划分网格的方式计算电磁场强度。
一个网格单元内的介电常数在空间上是变化的，根据介电材料的麦克斯韦—加尼特规则，将取每个单元内的介电常数的平均值代入到公式中进行计算。
离散单元的大小是实现高精度仿真的关键。通常建议空间增量x、y和z不应大/20。为了保证数值结果的稳定，时间增量还应满足：
（二）边界条件、计算区域、传播长度
（1）边界条件：当把边界条件设置为周期性边界条件时，时域方法的使用将会 受到一定的限制。
具体来说就是在正入射时（即各单元之间不存在相位延迟），可以得到有效的计算结果；而在斜入射时，需要在每一个时间增量上引入场分量的计算。
已经采用了一些方法来缓解这一限制，其中包括应用场景变换消除跨FDTD网格的时延，但该方法存在计算量大，计算时间长的缺点。
在基于麦克斯韦方程微分形式的数值方法中，边界条件的设置尤为重要。有限的内存分配意味着计算域必须仍然是有限的。
边界应尽可能准确地重现均匀的无损无限介质，即必须将非物理反射最小化。虽然引入了吸收边界条件，但仍然存在反射依赖于频率和入射角的局限性。
为了解决这个问题，引入了完美匹配层（PML）。这是一层有损耗的材料，具有完 美匹配的界面，对于所有频率、所有入射角度和偏振角度都不反射平面波。
PML扫描可以看作是频域中的坐标拉伸，也可以看作是一种人工的各向异性吸收介质：
上述资料中提到了PML参数的设计，其中PML代表“Perfectly Matched Layer”，是一种用于仿真计算中的边界条件技术。
PML参数的目的是有效地吸收和衰减传播波或倏逝波，防止它们在边界处产生反射，从而提高数值模拟的精度。
PML参数的表达式为 Sω = -σω，其中(j = x, y, z)表示三个坐标方向（x、y和z轴）。在这里，σ代表阻尼系数，其值取决于特定方向上波的传播特性。
通过调整这些参数，可以进一步优化PML的设计，以加速传播波或倏逝波的衰减过程。需要特别注意在使用PML时可能会产生反射误差，影响数值模拟的精度。
当计算域边缘的介电常数在垂直于PML方向上分布不均匀时，例如光源偏离垂直方向，以斜入射方式进入波导，PML方法就会失效。
在这种情况下，建议采用其他吸收边界条件来保证模拟的准确性。在模型中，由于光是垂直入射的情况，因此他们选择了32层PML条件设置（参见图2-8）。
这意味着在边界处添加了32层特殊设计的PML结构，以确保模拟结果更为准确。纳米光子学使用的一些材料，如金属或半导体，其介电常数是具有色散的。
特别是，金属材料的色散决定了等离子体共振频率，并显著影响其光学性质。在数值 模拟中，与频率有关的介电常数可以使用Drude模型或从实验数据来获取。
（2）计算域设置：上述资料描述了使用FDTD（时域有限差分）方法来模拟电磁场在量子点-金属纳米颗粒杂化系统中的散射和吸收行为，并计算其消光截面。
在这个模拟过程中，电磁场被分为入射场和散射场两部分。入射场采用平面波，并通过时间迭代进行模拟，直到场收敛到一个稳态解。
当入射平面波与结构相互作用时，会发生吸收和散射现象。为了计算散射和吸收谱，使用了FDTD的全场/散射场技术，并将计算域分为全场区域和仅计算散射的区域。
在全场区域内，通过对通过结构周围三维区域的通量进行傅里叶变换，可以得到吸收谱和散射谱。这些谱可以提供有关材料和结构对电磁波的相互作用的信息。
为了得到系统的远场性质，采用了近远场变换技术。近远场变换允许在不扩展计算网格的情况下进行近场计算，从而减少计算复杂性。
通过使用一个脉冲作为入射场，计算出该场的傅里叶变换，可以一次性地得到整个谱。然而，由于具有高质量因子的谐振腔的特性。
该方法需要进行持续的时间迭代，直到场值衰减到预定的阈值以下，而且对于这样的系统，随着时间缓慢衰减的精度是有限的。在本文的仿真模型中，衰减阈值设置在e^-7以下。
（3）传播长度的计算：时间域方法可以用简洁的方式计算光的传播。传播长度 和辐射损耗以及非辐射损耗可以在各种纳米级波导中例如纳米线、纳米颗粒阵列或纳米带进行评估。
用FDTD计算的纵向和横向激发的金纳米线中的SPP传播长度。（a）五角形 横截面，（b）星形截面。插图：化学合成的纳米线的扫描电子显微镜图像和计算出的 表面电荷分布。
在图2-10中，通过FDTD计算确定了SPP在金纳米线中的传播长度。固定波长的高斯光束通常入射并聚焦在纳米线的两端，计算先揭示了纳米线所支持的几种模式。
不同纳米线中SPP的传播长度由沿纳米线传播的时间平均能量流（波因廷向 量）作为距离的函数确定。
上述内容涉及FDTD（时域有限差分）方法在电磁场模拟中的应用。FDTD技术将电磁场分为入射场和散射场两部分。
三、结论
入射场是平面波时，通过时间迭代可以使市场逐渐趋于稳态。在平面波入射到结构上时，会经历吸收和散射现象。全场计算域包括包含散射和吸收的总场区域，以及只计算散射的区域。
在全场区域内，通过对通过结构周围三维区域的通量进行傅里叶变换，可以得到吸收谱和散射谱。通过该技术，可以模拟量子点-金属纳米颗粒杂化系统的散射和消光截面。
参考文献
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