概率论第三章--多维随机变量及其分布

文章目录

• 一、二维离散型
• • 1.1、二维离散型
  • • 1.1.1、随机变量
    • 1.1.2、分布函数
    • 1.1.3、边缘分布
    • 1.1.4、条件分布
    • 1.1.5、独立
  • 1.2、二维连续型
  • • 1.2.1、联合分布函数F(x,y)
    • 1.2.2、联合概率密度f(x,y)
    • 1.2.3、边缘概率密度
    • 1.2.4、条件概率密度
    • 1.2.5、分布函数
    • 1.2.6、独立性
• 三、二维离散型随机变量函数分布
• 四、二维连续型随机变量正数分布
• 五、最大最小值函数的分布

一、二维离散型

1.1、二维离散型

1.1.1、随机变量

1.1.2、分布函数

定义：设(x,y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函F(x,y)=P{(X<=x)n(Y<=y)}=P{X<=x,Y<=y},称F(x,y)为二维随机变量(x,y)的联合概率分布函数，简称为随机变量x和y的联合分布函数。

P{x1<X<=x2,y1<Y<=y2}=F(x1,y1)+F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)。

性质：

• 单调不减：F(x,y)是变量x和y的单调不减函数，即对任意固定y，当x2>x1时，有F(x2,y)>=F(x1,y)；对任意固定x，当y2>y1时，有F(x,y2)>=F(x,y1)。
• 规范性：0<=F(x,y)<=1，且 F ( + ∞ , + ∞ ) F(+\infty,+\infty) F(+∞,+∞)=1， F ( x , − ∞ ) F(x,-\infty) F(x,−∞)=0， F ( − ∞ , y ) F(-\infty,y) F(−∞,y)=0， F ( − ∞ , − ∞ ) F(-\infty,-\infty) F(−∞,−∞)=0.
• 右连续性：F(x,y)关于x右连续，关于y右连续
• 非负性：对于任意x1<x2，y1<y2，有F(x1,y1)+F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)>=0。

1.1.3、边缘分布

• F x ( x ) = P ( X ⩽ x ) = lim ⁡ y → + ∞ P ( X ⩽ x , Y ⩽ y ) = lim ⁡ y → ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) F_x(x)=P{(X \leqslant x)}=\lim_{y \to +\infty}P(X \leqslant x,Y \leqslant y)=\lim_{y \to \infty}F(x,y)=F(x,+\infty) Fx​(x)=P(X⩽x)=limy→+∞​P(X⩽x,Y⩽y)=limy→∞​F(x,y)=F(x,+∞)
• F y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) = F ( + ∞ , y ) F_y(y)=\lim_{x \to +\infty}F(x,y)=F(+\infty,y) Fy​(y)=limx→+∞​F(x,y)=F(+∞,y)

1.1.4、条件分布

定义：

设(x,y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称 P ( X = x i ∣ Y = y j ) = P ( X = x i , Y = y j ) P ( Y = y j ) = p i j p j , i = 1 , 2 , … P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_j},i=1,2,\dots P(X=xi​∣Y=yj​)=P(Y=yj​)P(X=xi​,Y=yj​)​=pj​pij​​,i=1,2,…，为在 Y = y j Y=y_j Y=yj​条件下随机变量X的条件分布律。

同理，设(x,y)是二维离散型随机变量，对于固定的i，若P{X=xi}>0，则称 P ( Y = y j ∣ X = x i ) = P ( Y = y j , X = x i ) P ( X = x i ) = p i j p i , j = 1 , 2 , … P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(Y=y_j,X=x_i)}{P(X=x_i)}=\frac{p_{ij}}{p_i},j=1,2,\dots P(Y=yj​∣X=xi​)=P(X=xi​)P(Y=yj​,X=xi​)​=pi​pij​​,j=1,2,…，为在 X = x i X=x_i X=xi​条件下随机变量Y的条件分布律。

1.1.5、独立

若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P ( X = i , Y = j ) = p i j , i , j = 1 , 2 , … P(X=i,Y=j)=p_{ij},i,j=1,2,\dots P(X=i,Y=j)=pij​,i,j=1,2,…。如果X和Y相互独立，则 P ( X = x i , Y = y j ) = P ( X = x i ) P ( Y = y j ) P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) P(X=xi​,Y=yj​)=P(X=xi​)P(Y=yj​)，即 p i j = p i p j , i , j = 1 , 2 , … p_{ij}=p_ip_j,i,j=1,2,\dots pij​=pi​pj​,i,j=1,2,…

1.2、二维连续型

1.2.1、联合分布函数F(x,y)

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，若存在一个非负实值可积函数f(x,y)，使得对任意x，y，有F(x,y)= ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^xf(u,v)dudv ∫−∞y​∫−∞x​f(u,v)dudv，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，简称为联合密度。

1.2.2、联合概率密度f(x,y)

性质：

• 非负性：f(x,y)>=0
• 规范性: ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{-\infty }^{+\infty}f(x,y)dxdy=1 ∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=1
• 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则f(x,y)= ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} ∂x∂y∂2F(x,y)​
• 设G是平面上一区域， P ( ( X , Y ) ∈ G ) = ∫ ∫ G f ( x , y ) d x d y P((X,Y)\in G)=\int \int_Gf(x,y)dxdy P((X,Y)∈G)=∫∫G​f(x,y)dxdy，即哪儿求概率，哪儿求积分。

1.2.3、边缘概率密度

f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy fX​(x)=∫−∞+∞​f(x,y)dy

f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx fY​(y)=∫−∞+∞​f(x,y)dx

1.2.4、条件概率密度

f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y​(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​

f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} fY∣X​(y∣x)=fX​(x)f(x,y)​

1.2.5、分布函数

1、均匀分布

若 f ( x , y ) = { 1 A , (x,y)属于 G 0 , 其它 f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{A}, & \text{(x,y)属于 G} \\ 0, & \text{其它} \end{cases} f(x,y)={A1​,0,​(x,y)属于 G其它​

则称(X,Y)在G上服从均匀分布，其中A为平面区域G的面积。

若(X,Y)在G上服从均匀分布，即(X,Y)落在G内各点是等可能的。

2、二维正态分布

若f(x,y)= 1 2 π σ 1 σ 2 1 − p 2 e − 1 2 ( 1 − p ) 2 [ ( x − μ ) 2 σ 1 2 − 2 p ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] , − ∞ < x < + ∞ , ∞ < y < + ∞ , 其 中 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , p , σ 1 > 0 , σ 2 > 2 , − 1 < p < 1 都 是 参 数 \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-p^2}}e^{-\frac{1}{2(1-p)^2}[\frac{(x-\mu)^2}{\sigma_1^2}-2p\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]},-\infty<x<+\infty,\infty<y<+\infty,其中\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,p,\sigma_1>0,\sigma_2>2,-1<p<1都是参数 2πσ1​σ2​1−p2

​1​e−2(1−p)21​[σ12​(x−μ)2​−2pσ1​σ2​(x−μ1​)(y−μ2​)​+σ22​(y−μ2​)2​],−∞<x<+∞,∞<y<+∞,其中μ1​,μ2​,σ1​,σ2​,p,σ1​>0,σ2​>2,−1<p<1都是参数。则称(x,y)服从参数为 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , p 的 二 维 正 态 分 布 ， 记 为 ( x , y ) − N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; p ) \mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,p的二维正态分布，记为(x,y)- N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1,\sigma_2;p) μ1​,μ2​,σ1​,σ2​,p的二维正态分布，记为(x,y)−N(μ1​,μ2​;σ1​,σ2​;p)

1.2.6、独立性

设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为 f X ( x ) , f Y ( y ) f_X(x),f_Y(y) fX​(x),fY​(y)，若X和Y相互独立，则f(x,y)=f_X(x)f_Y(y),F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)。

注：

1、二维正态随机变量(X,Y)- N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 2 , σ 2 2 ; p ) N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;p) N(μ1​,μ2​;σ12​,σ22​;p)。若X和Y相互独立，则p=0。

2、设随机变量x与y相互独立，令U=h(X),V=g(Y)，其中h(x),g(y)为连续函数，则U与V也相互独立。

三、二维离散型随机变量函数分布

1、泊松分布，可加性

2、二项分布（独立性），若x-B(n,p1),y-B(n,p2)，若p1不等于p2，则不可加，否则可加

3、正态分布，可加性

4、卡方分布，可加性

四、二维连续型随机变量正数分布

Z = X + Y , 则 Y = Z − X ， X = Z − Y ， f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y = P ( X + Y = k ) = ∑ i = 0 k P ( X = i ， Y = k − i ) Z=X+Y,则Y=Z-X，X=Z-Y，f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy=P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^kP(X=i，Y=k-i) Z=X+Y,则Y=Z−X，X=Z−Y，fZ​(z)=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx=∫−∞+∞​f(z−y,y)dy=P(X+Y=k)=∑i=0k​P(X=i，Y=k−i)，当相互独立，则可拆分相乘。

五、最大最小值函数的分布

F m a x ( z ) = [ F ( Z ) ] n , F m i n ( Z ) = 1 − [ 1 − F ( z ) ] n F_{max}(z)=[F(Z)]^n,F_{min}(Z)=1-[1-F(z)]^n Fmax​(z)=[F(Z)]n,Fmin​(Z)=1−[1−F(z)]n