学习笔记——假设检验

假设

• 对总体参数的的数值所作的一种陈述
• 总体参数包括总体均值、比例、方差等
• 分析之前必需陈述

假设检验

• 事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立
• 有参数假设检验和非参数假设检验
• 采用逻辑上的反证法，依据统计上的小概率原理
• 小概率原理：指发生概率很小的随机事件在一次试验中 几乎不可能发生，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。

  

原假设和备用假设

• 什么是原假设

1. 待检验的假设，又称“0假设”
2. 研究者想收集证据予以反对的假设
3. 总是有等号 =, ≤ \leq ≤ 或 ≥ \geq ≥

4. 表示为 H 0 H_{0} H0​

   • H 0 H_{0} H0​： μ = \mu = μ= 某一数值

   • 指定为 = 号，即 ≤ \leq ≤ 或 ≥ \geq ≥

   • 例如, H 0 H_{0} H0​： μ = \mu = μ= 3190（克）

• 什么是备择假设

1. 与原假设对立的假设，也称“研究假设”

2. 研究者想收集证据予以支持的假设总是有不等

   号: ≠ \neq ̸​=, < 或 >

3. 表示为 H 1 H_{1} H1​

   • H 1 H_{1} H1​： μ \mu μ <某一数值，或 μ \mu μ >某一数值

   • 例如, H 1 H_{1} H1​： μ \mu μ < 3910(克)，或 μ \mu μ >3910(克)

决策风险

第一类错误（弃真错误）

• 原假设为真时拒绝原假设

• 会产生一系列后果

• 第一类错误的概率为 α \alpha α

• 被称为显著性水平

第二类错误（取伪错误）

• 原假设为假时接受原假设

• 第二类错误的概率为 β \beta β

假设检验的流程

• 提出假设
• 确定适当的检验统计量
• 规定显著性水平 α \alpha α
• 计算检验统计量的值
• 作出统计决策
• 解释

什么是检验统计量

1. 用于假设检验决策的统计量

2. 选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑

   • 是大样本还是小样本

   • 总体方差已知还是未知

3. 检验统计量的基本形式为

   Z = X ˉ − μ 0 δ n Z=\frac{\bar{X}-\mu _{0}}{\frac{\delta }{\sqrt{n}}} Z=n

   ​δ​Xˉ−μ0​​

什么是显著性水平

1. 是一个概率值

2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率

   • 被称为抽样分布的拒绝域

   • 拒绝区域与原假设相反

3. 表示为 α \alpha α(alpha)

   • 常用的 α \alpha α值有0.01, 0.05, 0.10

4. 由研究者事先确定

作出统计决策

1.计算检验的统计量

2. 根据给定的显著性水平 α \alpha α，查表得出相应的临界值 z α z_{\alpha } zα​或 z α / 2 z_{\alpha/2 } zα/2​， t α t_{\alpha } tα​或 t α / 2 t_{\alpha/2 } tα/2​

3. 将检验统计量的值与 α \alpha α水平的临界值进行比较

4. 得出拒绝或不拒绝原假设的结论

5.

显著性水平决策

——————————————————————————————————————

p值决策

• 检验统计量跨过临界值等价于p值小于 α \alpha α
  • Z>S( α \alpha α显著水平下的临界值)
  • p< α \alpha α

1. p值是一个概率值

2. 如果原假设为真，P-值是抽样分布中大于或小于样本统计量的概率

   • 左侧检验时，P-值为曲线下方小于等于检验统计量部分的面积

   • 右侧检验时，P-值为曲线下方大于等于检验统计量部分的面积

3. 被称为观察到的(或实测的)显著性水平

   • H 0 H_{0} H0​ 能被拒绝的最小值

双侧检验

左侧检验

右侧检验

利用 P 值进行检验

1. 单侧检验

   • 若p-值 > α \alpha α,不拒绝 H 0 H_{0} H0​

   • 若p-值 < α \alpha α, 拒绝 H 0 H_{0} H0​

2. 双侧检验

   • 若p-值 > α \alpha α/2, 不拒绝 H 0 H_{0} H0​

   • 若p-值 < α \alpha α/2, 拒绝 H 0 H_{0} H0​

区别

当求显著性差异时，用双侧检验，当要求显著大于或小于时，用单侧检验。

总结

p值决策与显著性水平决策一样，等价的，只是一个用p值另一个用检验统计量。

——————————————————————————————————————

一个总体参数检验

总体均值的检验

总体比例的检验

总体方差的检验

总体均值检验

• 方差已知或方差未知大样本

1. 假定条件

   • 总体服从正态分布

   • 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n ≥ \geq ≥ 30)

2. 使用Z-统计量

• 方差未知小样本

1. 假定条件

   • 总体为正态分布

   • 方差未知，且小样本

2. 使用t 统计量

   

   解答：

   

总体比例检验

总体方差检验

——————————————————————————————————————

两个正态总体参数检验

两个总体均值之差的检验

两个总体比例之差的检验

两个总体方差比的检验

检验中的匹配样本

两个总体比例之差检验

两个总体方差比检验

两个总体均值之差检验

两个方差已知

• 假设形式

  

两个方差未知，但相等：

两个方差未知，但不相等：

——————————————————————————————————————

配对样本t检验

…