注：关于支持向量机系列文章是借鉴大神的神作，加以自己的理解写成的；若对原作者有损请告知，我会及时处理。转载请标明来源。
序：
我在支持向量机系列中主要讲支持向量机的公式推导，第一部分讲到推出拉格朗日对偶函数的对偶因子α；第二部分是SMO算法对于对偶因子的求解；第三部分是核函数的原理与应用，讲核函数的推理及常用的核函数有哪些；第四部分是支持向量机的应用，按照机器学习实战的代码详细解读。
1 数据样本集的介绍
这篇文章是根据《机器学习实战》一书的实例进行代码的详细解读，我在查找这方面的资料没有人对支持向量机算法 python 实现的详细说明，我就把我在看代码时的思路和代码详细注解。如果存在不足，欢迎给我留言相互探讨。好了，废话不多说，正文开始。。。
首先我们使用的数据是二维的坐标点，还有对应的类标号（1 或 -1）。数据集以 “testSet.txt” 命名，如下代码段中：
1 3.542485 1.977398 -1
2 3.018896 2.556416 -1
3 7.551510 -1.580030 1
4 2.114999 -0.004466 -1
5 8.127113 1.274372 1
6 7.108772 -0.986906 1
7 8.610639 2.046708 1
8 2.326297 0.265213 -1
9 3.634009 1.730537 -1
10 0.341367 -0.894998 -1
11 3.125951 0.293251 -1
12 2.123252 -0.783563 -1
13 0.887835 -2.797792 -1
14 7.139979 -2.329896 1
15 1.696414 -1.212496 -1
16 8.117032 0.623493 1
17 8.497162 -0.266649 1
18 4.658191 3.507396 -1
19 8.197181 1.545132 1
20 1.208047 0.213100 -1
21 1.928486 -0.321870 -1
22 2.175808 -0.014527 -1
23 7.886608 0.461755 1
24 3.223038 -0.552392 -1
25 3.628502 2.190585 -1
26 7.407860 -0.121961 1
27 7.286357 0.251077 1
28 2.301095 -0.533988 -1
29 -0.232542 -0.547690 -1
30 3.457096 -0.082216 -1
31 3.023938 -0.057392 -1
32 8.015003 0.885325 1
33 8.991748 0.923154 1
34 7.916831 -1.781735 1
35 7.616862 -0.217958 1
36 2.450939 0.744967 -1
37 7.270337 -2.507834 1
38 1.749721 -0.961902 -1
39 1.803111 -0.176349 -1
40 8.804461 3.044301 1
41 1.231257 -0.568573 -1
42 2.074915 1.410550 -1
43 -0.743036 -1.736103 -1
44 3.536555 3.964960 -1
45 8.410143 0.025606 1
46 7.382988 -0.478764 1
47 6.960661 -0.245353 1
48 8.234460 0.701868 1
49 8.168618 -0.903835 1
50 1.534187 -0.622492 -1
51 9.229518 2.066088 1
52 7.886242 0.191813 1
53 2.893743 -1.643468 -1
54 1.870457 -1.040420 -1
55 5.286862 -2.358286 1
56 6.080573 0.418886 1
57 2.544314 1.714165 -1
58 6.016004 -3.753712 1
59 0.926310 -0.564359 -1
60 0.870296 -0.109952 -1
61 2.369345 1.375695 -1
62 1.363782 -0.254082 -1
63 7.279460 -0.189572 1
64 1.896005 0.515080 -1
65 8.102154 -0.603875 1
66 2.529893 0.662657 -1
67 1.963874 -0.365233 -1
68 8.132048 0.785914 1
69 8.245938 0.372366 1
70 6.543888 0.433164 1
71 -0.236713 -5.766721 -1
72 8.112593 0.295839 1
73 9.803425 1.495167 1
74 1.497407 -0.552916 -1
75 1.336267 -1.632889 -1
76 9.205805 -0.586480 1
77 1.966279 -1.840439 -1
78 8.398012 1.584918 1
79 7.239953 -1.764292 1
80 7.556201 0.241185 1
81 9.015509 0.345019 1
82 8.266085 -0.230977 1
83 8.545620 2.788799 1
84 9.295969 1.346332 1
85 2.404234 0.570278 -1
86 2.037772 0.021919 -1
87 1.727631 -0.453143 -1
88 1.979395 -0.050773 -1
89 8.092288 -1.372433 1
90 1.667645 0.239204 -1
91 9.854303 1.365116 1
92 7.921057 -1.327587 1
93 8.500757 1.492372 1
94 1.339746 -0.291183 -1
95 3.107511 0.758367 -1
96 2.609525 0.902979 -1
97 3.263585 1.367898 -1
98 2.912122 -0.202359 -1
99 1.731786 0.589096 -1
100 2.387003 1.573131 -1
数据集
然后，数据集中对象在下图显示，我们的工作就是找到最佳的超平面（这里是直线）。
2 Python 代码的实现
2.1 准备数据和分析数据
既然我们有了数据，那么就要把数据转换成可以被程序调用和处理的形式。写一个加载数据的函数，把文本中的数据转化成列表类型。代码如下：
1 #将文本中的样本数据添加到列表中
2 defloadDataSet(fileName):3 dataMat =[]4 labelMat =[]5 fr =open(fileName)6 for line in fr.readlines() : #对文本按行遍历
7 lineArr = line.strip().split('\t')8 dataMat .append([float(lineArr [0]), float(lineArr[1])]) #每行前两个是属性数据，最后一个是类标号
9 labelMat .append(float(lineArr[2]))10 return dataMat , labelMat
由于在实现支持向量机的过程中要多次调用样本数据、类标号、对偶因子、对象经过核函数映射之后的值和其他数据，因此利用创造一个类，初始化这些数据利于保存和调用。代码如下：
1 classoptStruct:2 def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):3 self.X = dataMatIn #样本数据
4 self.labelMat = classLabels #样本的类标号
5 self.C = C #对偶因子的上界值
6 self.tol =toler7 self.m = shape(dataMatIn)[0] #样本的行数，即样本对象的个数
8 self.alphas = mat(zeros((self.m, 1))) #对偶因子
9 self.b = 0 #分割函数的截距
10 self.eCache = mat(zeros((self.m, 2))) #差值矩阵 m * 2，第一列是对象的标志位 1 表示存在不为零的差值 0 表示差值为零，第二列是实际的差值 E
11 self.K = mat(zeros((self.m, self.m))) #对象经过核函数映射之后的值
12 for i in range(self.m): #遍历全部样本集
13 self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup ) #调用径向基核函数
2.2 对偶因子的求解函数
我们通过支持向量机（二）：SMO算法，可知对偶因子是我们求得超平面的关键，只有解得对偶因子才能得到超平面的法向量和截距。代码如下：
1 #遍历所有能优化的 alpha
2 def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup=('lin', 0)):3 oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup) #创建一个类对象 oS ,类对象 oS 存放所有数据
4 iter = 0 #迭代次数的初始化
5 entireSet = True #违反 KKT 条件的标志符
6 alphaPairsChanged = 0 #迭代中优化的次数
7
8 #从选择第一个 alpha 开始，优化所有alpha
9 while(iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet )): #优化的终止条件：在规定迭代次数下，是否遍历了整个样本或 alpha 是否优化
10 alphaPairsChanged =011 if entireSet: #12 for i in range(oS.m): #遍历所有对象
13 alphaPairsChanged += innerL(i ,oS) #调用优化函数（不一定优化）
14 print "fullSet , iter: %d i %d, pairs changed %d" %(iter, i , alphaPairsChanged )15 iter += 1 #迭代次数加 1
16 else:17 nonBoundIs = nonzero((oS.alphas .A > 0) * (oS.alphas.A
19 alphaPairsChanged += innerL(i, oS) #调用优化函数（不一定优化）
20 print "non-bound, iter: %d i :%d, pairs changed %d" %(iter, i, alphaPairsChanged )21 iter += 1 #迭代次数加 1
22 if entireSet : #没有违反KKT 条件的alpha ，终止迭代
23 entireSet =False24 elif (alphaPairsChanged == 0): #存在违反 KKT 的alpha
25 entireSet =True26 print "iteration number: %d" %iter27 return oS.b, oS.alphas #返回截距值和 alphas
上述代码中，第 13 行调用了 innerL() 函数，它是对对偶因子向量的单个元素求解。代码如下：
1 #优化选取两个 alpha ，并计算截距 b
2 definnerL(i, oS):3 Ei = calcEk(oS, i) #计算 对象 i 的差值
4 #第一个 alpha 符合选择条件进入优化
5 if ((oS.labelMat [i]*Ei <- oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat [i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] >0)):6 j,Ej =selectJ(i, oS, Ei) #选择第二个 alpha
7 alphaIold = oS.alphas[i].copy() #浅拷贝
8 alphaJold = oS.alphas[j].copy() #浅拷贝
9
10 #根据对象 i 、j 的类标号（相等或不等）确定KKT条件的上界和下界
11 if (oS.labelMat[i] !=oS.labelMat[j]):12 L = max(0, oS.alphas [j] -oS.alphas[i])13 H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] -oS.alphas[i])14 else:15 L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas [i] -oS.C)16 H = min(oS.C, oS.alphas [j] +oS.alphas [i])17
18 if L==H:print "L==H";return 0 #不符合优化条件（第二个 alpha）
19 eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #计算公式的eta ,是公式的相反数
20 if eta >= 0:print "eta>=0";return 0 #不考虑eta 大于等于 0 的情况（这种情况对 alpha 的解是另外一种方式，即临界情况的求解）
21 #优化之后的第二个 alpha 值
22 oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta23 oS.alphas[j] =clipAlpha(oS.alphas[j], H, L)24 updateEk(oS, j) #更新差值矩阵
25 if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): #优化之后的 alpha 值与之前的值改变量太小，步长不足
26 print "j not moving enough"
27 return028 oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j]) #优化第二个 alpha
29 updateEk(oS, i) #更新差值矩阵
30 #计算截距 b
31 b1 = oS.b - Ei - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.K[i, i] - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alphaJold) *oS.K[i, j]32 b2 = oS.b - Ej - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.K[i, j] - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alphaJold) *oS.K[j, j]33 if (0 < oS.alphas [i]) and (oS.C >oS.alphas[i]):34 oS.b =b135 elif (0 < oS.alphas [j]) and (oS.C >oS.alphas [j]):36 oS.b =b237 else:38 oS.b = (b1 + b2)/2.0
39 return 1 #进行一次优化
40 else:41 return 0
这里第 3 行代码调用了calcEk() 函数，它是计算预测值与真实值的差值。代码如下：
1 #预测的类标号值与真实值的差值，参数 oS 是类对象，k 是样本的对象的标号
2 defcalcEk(oS, k):3 fXk = float(multiply(oS.alphas, oS.labelMat).T * oS.K[:, k] + oS.b) #公式（1）
4 Ek = fXk - float(oS.labelMat[k]) #差值
5 return Ek
其中，第 3 行中指到的公式（1）是超平面方程。
在 innerL（）函数中的第 6 行，调用了 selectJ （）函数，此函数是用来选择优化的第二个对偶因子元素。代码如下：
1 #由启发式选取第二个 alpha，以最大步长为标准
2 def selectJ(i, oS, Ei): #函数的参数是选取的第一个 alpha 的对象号、类对象和对象差值
3 maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0 #第二个 alpha 的初始化
4 oS.eCache[i] = [1,Ei] #更新差值矩阵的第 i 行
5 validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #取差值矩阵中第一列不为 0 的所有行数（标志位为 1 ），以元组类型返回
6 if (len(validEcacheList)) > 1 : #7 for k in validEcacheList : #遍历所有标志位为 1 的对象的差值
8 if k == i: continue
9 Ek = calcEk(oS, k) #计算对象 k 的差值
10 deltaE = abs(Ei - Ek) #取两个差值之差的绝对值
11 if (deltaE > maxDeltaE): #选取最大的绝对值deltaE
12 maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej =Ek13 return maxK, Ej #返回选取的第二个 alpha
14 else: #随机选取第二个 alpha
15 j =selectJrand(i, oS.m)16 Ej =calcEk(oS,j)17 return j, Ej #返回选取的第二个 alpha
这个函数的第 15 行调用了 selectJrand() 函数，是为了没有合适的第二个元素，就用随机的方式选择。代码如下：
1 #随机选取对偶因子alpha ,参数i 是alpha 的下标，m 是alpha 的总数
2 defselectJrand(i,m):3 j =i4 while (j==i):5 j =int(random.uniform(0,m))6 return j
在innerL（）函数中的第 23 行调用 clipAlpha() 函数，是根据KKT 条件对对偶因子的修剪。代码如下：
1 #对所求的对偶因子按约束条件的修剪
2 def clipAlpha(aj, H, L): #H 为上界，L为下界
3 if aj >H:4 aj =H5 if L >aj:6 aj =L7 return aj
innerL（） 函数的第 29 行调用了 updateEk() 函数，更新差值矩阵的数据。代码如下：
1 #更新差值矩阵的数据
2 defupdateEk(oS, k):3 Ek = calcEk(oS, k) #调用计算差值的函数
4 oS.eCache [k] = [1,Ek]
2.3 核函数
这里我们使用的径向基核函数，把数据从低维映射到高维，把不可分数据变成可分。当然，我们给出的数据集是线性可分，现在给出另外数据集，分为训练集“testSetRBF.txt”和测试集"testSetRBF2.txt"。
径向基核函数公式如下：
数据集
1 -0.214824 0.662756 -1.000000
2 -0.061569 -0.091875 1.000000
3 0.406933 0.648055 -1.000000
4 0.223650 0.130142 1.000000
5 0.231317 0.766906 -1.000000
6 -0.748800 -0.531637 -1.000000
7 -0.557789 0.375797 -1.000000
8 0.207123 -0.019463 1.000000
9 0.286462 0.719470 -1.000000
10 0.195300 -0.179039 1.000000
11 -0.152696 -0.153030 1.000000
12 0.384471 0.653336 -1.000000
13 -0.117280 -0.153217 1.000000
14 -0.238076 0.000583 1.000000
15 -0.413576 0.145681 1.000000
16 0.490767 -0.680029 -1.000000
17 0.199894 -0.199381 1.000000
18 -0.356048 0.537960 -1.000000
19 -0.392868 -0.125261 1.000000
20 0.353588 -0.070617 1.000000
21 0.020984 0.925720 -1.000000
22 -0.475167 -0.346247 -1.000000
23 0.074952 0.042783 1.000000
24 0.394164 -0.058217 1.000000
25 0.663418 0.436525 -1.000000
26 0.402158 0.577744 -1.000000
27 -0.449349 -0.038074 1.000000
28 0.619080 -0.088188 -1.000000
29 0.268066 -0.071621 1.000000
30 -0.015165 0.359326 1.000000
31 0.539368 -0.374972 -1.000000
32 -0.319153 0.629673 -1.000000
33 0.694424 0.641180 -1.000000
34 0.079522 0.193198 1.000000
35 0.253289 -0.285861 1.000000
36 -0.035558 -0.010086 1.000000
37 -0.403483 0.474466 -1.000000
38 -0.034312 0.995685 -1.000000
39 -0.590657 0.438051 -1.000000
40 -0.098871 -0.023953 1.000000
41 -0.250001 0.141621 1.000000
42 -0.012998 0.525985 -1.000000
43 0.153738 0.491531 -1.000000
44 0.388215 -0.656567 -1.000000
45 0.049008 0.013499 1.000000
46 0.068286 0.392741 1.000000
47 0.747800 -0.066630 -1.000000
48 0.004621 -0.042932 1.000000
49 -0.701600 0.190983 -1.000000
50 0.055413 -0.024380 1.000000
51 0.035398 -0.333682 1.000000
52 0.211795 0.024689 1.000000
53 -0.045677 0.172907 1.000000
54 0.595222 0.209570 -1.000000
55 0.229465 0.250409 1.000000
56 -0.089293 0.068198 1.000000
57 0.384300 -0.176570 1.000000
58 0.834912 -0.110321 -1.000000
59 -0.307768 0.503038 -1.000000
60 -0.777063 -0.348066 -1.000000
61 0.017390 0.152441 1.000000
62 -0.293382 -0.139778 1.000000
63 -0.203272 0.286855 1.000000
64 0.957812 -0.152444 -1.000000
65 0.004609 -0.070617 1.000000
66 -0.755431 0.096711 -1.000000
67 -0.526487 0.547282 -1.000000
68 -0.246873 0.833713 -1.000000
69 0.185639 -0.066162 1.000000
70 0.851934 0.456603 -1.000000
71 -0.827912 0.117122 -1.000000
72 0.233512 -0.106274 1.000000
73 0.583671 -0.709033 -1.000000
74 -0.487023 0.625140 -1.000000
75 -0.448939 0.176725 1.000000
76 0.155907 -0.166371 1.000000
77 0.334204 0.381237 -1.000000
78 0.081536 -0.106212 1.000000
79 0.227222 0.527437 -1.000000
80 0.759290 0.330720 -1.000000
81 0.204177 -0.023516 1.000000
82 0.577939 0.403784 -1.000000
83 -0.568534 0.442948 -1.000000
84 -0.011520 0.021165 1.000000
85 0.875720 0.422476 -1.000000
86 0.297885 -0.632874 -1.000000
87 -0.015821 0.031226 1.000000
88 0.541359 -0.205969 -1.000000
89 -0.689946 -0.508674 -1.000000
90 -0.343049 0.841653 -1.000000
91 0.523902 -0.436156 -1.000000
92 0.249281 -0.711840 -1.000000
93 0.193449 0.574598 -1.000000
94 -0.257542 -0.753885 -1.000000
95 -0.021605 0.158080 1.000000
96 0.601559 -0.727041 -1.000000
97 -0.791603 0.095651 -1.000000
98 -0.908298 -0.053376 -1.000000
99 0.122020 0.850966 -1.000000
100 -0.725568 -0.292022 -1.000000
训练集
1 0.676771 -0.486687 -1.000000
2 0.008473 0.186070 1.000000
3 -0.727789 0.594062 -1.000000
4 0.112367 0.287852 1.000000
5 0.383633 -0.038068 1.000000
6 -0.927138 -0.032633 -1.000000
7 -0.842803 -0.423115 -1.000000
8 -0.003677 -0.367338 1.000000
9 0.443211 -0.698469 -1.000000
10 -0.473835 0.005233 1.000000
11 0.616741 0.590841 -1.000000
12 0.557463 -0.373461 -1.000000
13 -0.498535 -0.223231 -1.000000
14 -0.246744 0.276413 1.000000
15 -0.761980 -0.244188 -1.000000
16 0.641594 -0.479861 -1.000000
17 -0.659140 0.529830 -1.000000
18 -0.054873 -0.238900 1.000000
19 -0.089644 -0.244683 1.000000
20 -0.431576 -0.481538 -1.000000
21 -0.099535 0.728679 -1.000000
22 -0.188428 0.156443 1.000000
23 0.267051 0.318101 1.000000
24 0.222114 -0.528887 -1.000000
25 0.030369 0.113317 1.000000
26 0.392321 0.026089 1.000000
27 0.298871 -0.915427 -1.000000
28 -0.034581 -0.133887 1.000000
29 0.405956 0.206980 1.000000
30 0.144902 -0.605762 -1.000000
31 0.274362 -0.401338 1.000000
32 0.397998 -0.780144 -1.000000
33 0.037863 0.155137 1.000000
34 -0.010363 -0.004170 1.000000
35 0.506519 0.486619 -1.000000
36 0.000082 -0.020625 1.000000
37 0.057761 -0.155140 1.000000
38 0.027748 -0.553763 -1.000000
39 -0.413363 -0.746830 -1.000000
40 0.081500 -0.014264 1.000000
41 0.047137 -0.491271 1.000000
42 -0.267459 0.024770 1.000000
43 -0.148288 -0.532471 -1.000000
44 -0.225559 -0.201622 1.000000
45 0.772360 -0.518986 -1.000000
46 -0.440670 0.688739 -1.000000
47 0.329064 -0.095349 1.000000
48 0.970170 -0.010671 -1.000000
49 -0.689447 -0.318722 -1.000000
50 -0.465493 -0.227468 -1.000000
51 -0.049370 0.405711 1.000000
52 -0.166117 0.274807 1.000000
53 0.054483 0.012643 1.000000
54 0.021389 0.076125 1.000000
55 -0.104404 -0.914042 -1.000000
56 0.294487 0.440886 -1.000000
57 0.107915 -0.493703 -1.000000
58 0.076311 0.438860 1.000000
59 0.370593 -0.728737 -1.000000
60 0.409890 0.306851 -1.000000
61 0.285445 0.474399 -1.000000
62 -0.870134 -0.161685 -1.000000
63 -0.654144 -0.675129 -1.000000
64 0.285278 -0.767310 -1.000000
65 0.049548 -0.000907 1.000000
66 0.030014 -0.093265 1.000000
67 -0.128859 0.278865 1.000000
68 0.307463 0.085667 1.000000
69 0.023440 0.298638 1.000000
70 0.053920 0.235344 1.000000
71 0.059675 0.533339 -1.000000
72 0.817125 0.016536 -1.000000
73 -0.108771 0.477254 1.000000
74 -0.118106 0.017284 1.000000
75 0.288339 0.195457 1.000000
76 0.567309 -0.200203 -1.000000
77 -0.202446 0.409387 1.000000
78 -0.330769 -0.240797 1.000000
79 -0.422377 0.480683 -1.000000
80 -0.295269 0.326017 1.000000
81 0.261132 0.046478 1.000000
82 -0.492244 -0.319998 -1.000000
83 -0.384419 0.099170 1.000000
84 0.101882 -0.781145 -1.000000
85 0.234592 -0.383446 1.000000
86 -0.020478 -0.901833 -1.000000
87 0.328449 0.186633 1.000000
88 -0.150059 -0.409158 1.000000
89 -0.155876 -0.843413 -1.000000
90 -0.098134 -0.136786 1.000000
91 0.110575 -0.197205 1.000000
92 0.219021 0.054347 1.000000
93 0.030152 0.251682 1.000000
94 0.033447 -0.122824 1.000000
95 -0.686225 -0.020779 -1.000000
96 -0.911211 -0.262011 -1.000000
97 0.572557 0.377526 -1.000000
98 -0.073647 -0.519163 -1.000000
99 -0.281830 -0.797236 -1.000000
100 -0.555263 0.126232 -1.000000
测试集
核函数代码如下：
1 #径向基核函数（高斯函数）
2 def kernelTrans(X, A, kTup): #X 是样本集矩阵，A 是样本对象（矩阵的行向量） ， kTup 元组
3 m,n =shape(X)4 K = mat(zeros((m,1)))5 #数据不用核函数计算
6 if kTup [0] == 'lin': K = X *A.T7
8 #用径向基核函数计算
9 elif kTup[0] == 'rbf':10 for j inrange(m):11 deltaRow = X[j,:] -A12 K[j] = deltaRow *deltaRow.T13 K = exp(K/(-1*kTup[1]**2))14 #kTup 元组值异常，抛出异常信息
15 else:raise NameError('Houston We Have a Problem --That Kernel is not recognized')16 return K
3 支持向量机预测分类测试结果
测试函数代码如下：
1 #训练样本集的错误率和测试样本集的错误率
2 def testRbf(k1=1.3):3 dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt') #训练样本的提取
4 b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1)) #计算得到截距和对偶因子
5 datMat=mat(dataArr); labelMat =mat(labelArr).transpose()6 svInd=nonzero(alphas.A>0)[0] #对偶因子大于零的值，支持向量的点对应对偶因子
7 sVs=datMat[svInd]8 labelSV =labelMat[svInd]9 print "there are %d Support Vectors" %shape(sVs)[0]10 m,n =shape(datMat)11 errorCount =012 #对训练样本集的测试
13 for i inrange(m):14 kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #对象 i 的映射值
15 predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #预测值
16 if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
17 print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)18 dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt') #测试样本集的提取
19 errorCount =020 datMat=mat(dataArr); labelMat =mat(labelArr).transpose()21 m,n =shape(datMat)22 #对测试样本集的测试
23 for i inrange(m):24 kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #测试样本对象 i 的映射值
25 predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #预测值
26 if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
27 print "the test error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)
运行结果：
从结果可知，训练集的错误率在3%，测试集的错误率在4%，说明支持向量机的分类效果很好。当然在每次运行的结果与图中的结果不一定相同，因为代码段中存在随机选择对偶因子的情况，这是无法避免的，但结果的错误率是基本相同的。
到这里支持向量机算法是讲完了，期间花费了我大量时间学习支持向量机的原理和代码的实现。虽然这部分内容存在一定的难度，但认真地去看每步的由来还是能够理解的。像我这么不怎么聪明的人都能对它说出 1,2,3,4 来，相信你也可以。我总是这么认为，你看懂支持向量机是一回事，能够说出向量机是一回事，把向量机讲出来又是另外一回事。我现在对支持向量机还有很多半只不懂的地方，希望以后对它有了新的理解再来修改支持向量机系列的文章。
附:完整代码
1 #-*- coding=utf-8 -*-
2 importrandom3
4 from numpy import *
5
6 #将文本中的样本数据添加到列表中
7 defloadDataSet(fileName):8 dataMat =[]9 labelMat =[]10 fr =open(fileName)11 for line in fr.readlines() : #对文本按行遍历
12 lineArr = line.strip().split('\t')13 dataMat .append([float(lineArr [0]), float(lineArr[1])]) #每行前两个是属性数据，最后一个是类标号
14 labelMat .append(float(lineArr[2]))15 returndataMat , labelMat16
17 #随机选取对偶因子alpha ,参数i 是alpha 的下标，m 是alpha 的总数
18 defselectJrand(i,m):19 j =i20 while (j==i):21 j =int(random.uniform(0,m))22 returnj23
24 #对所求的对偶因子按约束条件的修剪
25 def clipAlpha(aj, H, L): #H 为上界，L为下界
26 if aj >H:27 aj =H28 if L >aj:29 aj =L30 returnaj31
32
33 classoptStruct:34 def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):35 self.X = dataMatIn #样本数据
36 self.labelMat = classLabels #样本的类标号
37 self.C = C #对偶因子的上界值
38 self.tol =toler39 self.m = shape(dataMatIn)[0] #样本的行数，即样本对象的个数
40 self.alphas = mat(zeros((self.m, 1))) #对偶因子
41 self.b = 0 #分割函数的截距
42 self.eCache = mat(zeros((self.m, 2))) #差值矩阵 m * 2，第一列是对象的标志位 1 表示存在不为零的差值 0 表示差值为零，第二列是实际的差值 E
43 self.K = mat(zeros((self.m, self.m))) #对象经过核函数映射之后的值
44 for i in range(self.m): #遍历全部样本集
45 self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup ) #调用径向基核函数
46
47
48
49 #预测的类标号值与真实值的差值，参数 oS 是类对象，k 是样本的对象的标号
50 defcalcEk(oS, k):51 fXk = float(multiply(oS.alphas, oS.labelMat).T * oS.K[:, k] + oS.b) #公式（1）
52 Ek = fXk - float(oS.labelMat[k]) #差值
53 returnEk54
55
56 #由启发式选取第二个 alpha，以最大步长为标准
57 def selectJ(i, oS, Ei): #函数的参数是选取的第一个 alpha 的对象号、类对象和对象差值
58 maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0 #第二个 alpha 的初始化
59 oS.eCache[i] = [1,Ei] #更新差值矩阵的第 i 行
60 validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0] #取差值矩阵中第一列不为 0 的所有行数（标志位为 1 ），以元组类型返回
61 if (len(validEcacheList)) > 1 : #62 for k in validEcacheList : #遍历所有标志位为 1 的对象的差值
63 if k == i: continue
64 Ek = calcEk(oS, k) #计算对象 k 的差值
65 deltaE = abs(Ei - Ek) #取两个差值之差的绝对值
66 if (deltaE > maxDeltaE): #选取最大的绝对值deltaE
67 maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej =Ek68 return maxK, Ej #返回选取的第二个 alpha
69 else: #随机选取第二个 alpha
70 j =selectJrand(i, oS.m)71 Ej =calcEk(oS,j)72 return j, Ej #返回选取的第二个 alpha
73
74 #更新差值矩阵的数据
75 defupdateEk(oS, k):76 Ek = calcEk(oS, k) #调用计算差值的函数
77 oS.eCache [k] = [1,Ek]78
79
80 #优化选取两个 alpha ，并计算截距 b
81 definnerL(i, oS):82 Ei = calcEk(oS, i) #计算 对象 i 的差值
83 #第一个 alpha 符合选择条件进入优化
84 if ((oS.labelMat [i]*Ei <- oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat [i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] >0)):85 j,Ej =selectJ(i, oS, Ei) #选择第二个 alpha
86 alphaIold = oS.alphas[i].copy() #浅拷贝
87 alphaJold = oS.alphas[j].copy() #浅拷贝
88
89 #根据对象 i 、j 的类标号（相等或不等）确定KKT条件的上界和下界
90 if (oS.labelMat[i] !=oS.labelMat[j]):91 L = max(0, oS.alphas [j] -oS.alphas[i])92 H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] -oS.alphas[i])93 else:94 L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas [i] -oS.C)95 H = min(oS.C, oS.alphas [j] +oS.alphas [i])96
97 if L==H:print "L==H";return 0 #不符合优化条件（第二个 alpha）
98 eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #计算公式的eta ,是公式的相反数
99 if eta >= 0:print "eta>=0";return 0 #不考虑eta 大于等于 0 的情况（这种情况对 alpha 的解是另外一种方式，即临界情况的求解）
100 #优化之后的第二个 alpha 值
101 oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta102 oS.alphas[j] =clipAlpha(oS.alphas[j], H, L)103 updateEk(oS, j) #更新差值矩阵
104 if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): #优化之后的 alpha 值与之前的值改变量太小，步长不足
105 print "j not moving enough"
106 return0107 oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j]) #优化第二个 alpha
108 updateEk(oS, i) #更新差值矩阵
109 #计算截距 b
110 b1 = oS.b - Ei - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.K[i, i] - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alphaJold) *oS.K[i, j]111 b2 = oS.b - Ej - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.K[i, j] - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alphaJold) *oS.K[j, j]112 if (0 < oS.alphas [i]) and (oS.C >oS.alphas[i]):113 oS.b =b1114 elif (0 < oS.alphas [j]) and (oS.C >oS.alphas [j]):115 oS.b =b2116 else:117 oS.b = (b1 + b2)/2.0
118 return 1 #进行一次优化
119 else:120 return0121
122
123 #遍历所有能优化的 alpha
124 def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup=('lin', 0)):125 oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup) #创建一个类对象 oS ,类对象 oS 存放所有数据
126 iter = 0 #迭代次数的初始化
127 entireSet = True #违反 KKT 条件的标志符
128 alphaPairsChanged = 0 #迭代中优化的次数
129
130 #从选择第一个 alpha 开始，优化所有alpha
131 while(iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet )): #优化的终止条件：在规定迭代次数下，是否遍历了整个样本或 alpha 是否优化
132 alphaPairsChanged =0133 if entireSet: #134 for i in range(oS.m): #遍历所有对象
135 alphaPairsChanged += innerL(i ,oS) #调用优化函数（不一定优化）
136 print "fullSet , iter: %d i %d, pairs changed %d" %(iter, i , alphaPairsChanged )137 iter += 1 #迭代次数加 1
138 else:139 nonBoundIs = nonzero((oS.alphas .A > 0) * (oS.alphas.A
141 alphaPairsChanged += innerL(i, oS) #调用优化函数（不一定优化）
142 print "non-bound, iter: %d i :%d, pairs changed %d" %(iter, i, alphaPairsChanged )143 iter += 1 #迭代次数加 1
144 if entireSet : #没有违反KKT 条件的alpha ，终止迭代
145 entireSet =False146 elif (alphaPairsChanged == 0): #存在违反 KKT 的alpha
147 entireSet =True148 print "iteration number: %d" %iter149 return oS.b, oS.alphas #返回截距值和 alphas
150
151 #径向基核函数（高斯函数）
152 def kernelTrans(X, A, kTup): #X 是样本集矩阵，A 是样本对象（矩阵的行向量） ， kTup 元组
153 m,n =shape(X)154 K = mat(zeros((m,1)))155 #数据不用核函数计算
156 if kTup [0] == 'lin': K = X *A.T157
158 #用径向基核函数计算
159 elif kTup[0] == 'rbf':160 for j inrange(m):161 deltaRow = X[j,:] -A162 K[j] = deltaRow *deltaRow.T163 K = exp(K/(-1*kTup[1]**2))164 #kTup 元组值异常，抛出异常信息
165 else:raise NameError('Houston We Have a Problem --That Kernel is not recognized')166 returnK167
168 #训练样本集的错误率和测试样本集的错误率
169 def testRbf(k1=1.3):170 dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt') #训练样本的提取
171 b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1)) #计算得到截距和对偶因子
172 datMat=mat(dataArr); labelMat =mat(labelArr).transpose()173 svInd=nonzero(alphas.A>0)[0] #对偶因子大于零的值，支持向量的点对应对偶因子
174 sVs=datMat[svInd]175 labelSV =labelMat[svInd]176 print "there are %d Support Vectors" %shape(sVs)[0]177 m,n =shape(datMat)178 errorCount =0179 #对训练样本集的测试
180 for i inrange(m):181 kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #对象 i 的映射值
182 predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #预测值
183 if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
184 print "the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)185 dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt') #测试样本集的提取
186 errorCount =0187 datMat=mat(dataArr); labelMat =mat(labelArr).transpose()188 m,n =shape(datMat)189 #对测试样本集的测试
190 for i inrange(m):191 kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1)) #测试样本对象 i 的映射值
192 predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b #预测值
193 if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
194 print "the test error rate is: %f" % (float(errorCount)/m)195 if __name__ == '__main__':196
197 '''
198 # 显示计算的截距值b 和对偶因子 alphas199 dataMat ,labelMat = loadDataSet('testSet.txt')200 b, alphas = smoP(dataMat, labelMat , 0.6, 0.11, 40,('rbf',2))201 print '------'202 print b, '----',alphas203 '''
204
205 #支持向量机的测试
206 testRbf()
完整代码