线性代数：特征值、特征多项式和特征向量

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• Sylvester降幂公式（特征多项式的降阶计算公式）

Sylvester降幂公式（特征多项式的降阶计算公式）

设 A A A 与 B B B 分别是 m × n m\times n m×n 与 n × m n\times m n×m 矩阵， m ≥ n m\geq n m≥n. 则

∣ λ I m − A B ∣ = λ m − n ∣ λ I n − B A ∣ |\lambda I_m-AB|=\lambda^{m-n}|\lambda I_n-BA| ∣λIm​−AB∣=λm−n∣λIn​−BA∣

例： 设 u u u 是 n n n 维单位向量，求 n n n 阶实Householder矩阵 I − 2 u u T I-2uu^T I−2uuT 的特征值及它的迹和行列式.

解： 由Sylvester降幂公式，

∣ λ I − ( I − 2 u u T ) ∣ = ∣ ( λ − 1 ) I + 2 u u T ∣ = ( λ − 1 ) n − 1 ∣ λ − 1 + 2 u T u ∣ = ( λ − 1 ) n − 1 ( λ + 1 ) . |\lambda I-(I-2uu^T)|=|(\lambda -1)I+2uu^T|=(\lambda-1)^{n-1}|\lambda-1 +2u^Tu|=(\lambda-1)^{n-1}(\lambda+1). ∣λI−(I−2uuT)∣=∣(λ−1)I+2uuT∣=(λ−1)n−1∣λ−1+2uTu∣=(λ−1)n−1(λ+1).

由此知， λ = 1 \lambda=1 λ=1 是 n − 1 n-1 n−1 重根，而 λ = − 1 \lambda=-1 λ=−1 是 1 1 1 重根. 因此， t r ( I − 2 u u T ) = n − 2 tr(I-2uu^T)=n-2 tr(I−2uuT)=n−2 ； ∣ I − 2 u u T ∣ = − 1. |I-2uu^T|=-1. ∣I−2uuT∣=−1.

注：所有特征值之和是迹，所有特征值之积是行列式。

[参考资料]

百度文库：特征值与矩阵的Jordan标准型