HDU 2197 本原串 （数学+容斥）

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HDU 2197

题意：

由0和1组成的串中，不能表示为由几个相同的较小的串连接成的串，称为本原串，有多少个长为 n（n<=100000000) 的本原串？

答案 mod2008 .

例如， 100100 不是本原串，因为他是由两个 100 组成，而 1101 是本原串。

题解：

我们考虑一下容斥原理，长度为 n 的01串的总数为2n。要求本原串，只要将01串的总数减掉非本原串就可以啦。

而非本原串可以由本原串得到。

易得， f[n]=2n−∑(f[i])−2 ， 其中 i 是n的大于等于 2 的约数。

因为非本原串肯定是由长度为a的字串不断重复 b 次得到的，那么a必然是 b 的约数。减二是要除去全是0或 1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-633">1</script>的情况。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=;
int f[];
typedef long long ll;
int q_mod(int a,int b)
{
    int ans=;
    while(b)
    {
        if(b&)
        {
            ans=ans*a%mod;
        }
        a=a*a%mod;
        b>>=;
    }
    return ans;
}
int solve(int n)
{
    if(n==)return ;
    int ans=q_mod(,n);
    ans-=;
    ans%=mod;
    for(int i=;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i!=)continue;
        if(i*i==n)
        {
            ans-=solve(i);
            ans%=mod;
        }
        else
        {
            ans-=solve(i);
            ans-=solve(n/i);
            ans%=mod;
        }
    }
    return (ans+mod)%mod;
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        cout<<solve(n)<<endl;
    }
    return ;
}