最长递增子序列 LIS

最长递增子序列问题
它的英文专用名词是
LIS: longest increasing subsequence.
           

问题描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N ( <= N <= )。
第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在到。
           

输出

最长上升子序列的长度。
           

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8
           

样例输出

4
           

题目链接

解题思路

1. 找子问题

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”

假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x。有的序列的最后一个元素比 an+1小，则加上an+1就能形成更长上升子序列；有的序列最后一个元素不比an+1小……以后的事情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性”

“求以ak（k=, , …N）为终点的最长上升子序列的长度”

一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。

虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，
但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，
最大的那个就是整个问题的解。
           

2.确定状态：

子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。
因此序列中数的位置k 就是“状态”，
而状态 k 对应的“值”，
就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。
           

状态一共有N个。

3.找出状态转移方程：

maxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度
那么：

初始状态：maxLen (1) = 1

maxLen(k)=max{maxLen(i):1<=i<k且ai<ak且k≠1} + 1

若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1
maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，
且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。
因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，
加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。
           

• AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=;
int dp[MAXN],a[MAXN];//dp[i]表示的是以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
int main()
{
    int N;
    cin>>N;
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        cin>>a[i];
        dp[i]=;
    }
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        //求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
        for(int j=;j<i;j++)
        {
            //遍历之前的数，察看以第j个数为终点的最长上升子序列
            if(a[i]>a[j])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+);
        }
    }
    cout<<*max_element(dp,dp+N)<<endl;
    return ;
}
           

时间复杂度为O(N^2)

！改进算法

参考博客

改进算法的时间复杂度为nlonn

改进算法思想如下：

其实就是模拟一个栈
如果a[i]大于当前栈顶的元素
那么a[i]入栈
else
当前栈是严格递增的
在当前栈中二分查找栈中的比它大的第个数
然后替换掉那个数 
这样做，增大了最大递增子序列增加元素的潜力
           

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=;
int a[MAXN];
int main()
{
    int temp;
    int n;
    int s=;
    cin>>n;
    a[]=-;//给a[0]设置为一个很小的数 方便之后的比较
    for(int i=;i<n;i++)
    {
        cin>>temp;
        if(a[s]<temp) a[++s]=temp;
        else
        {
            //在栈中二分查找第一个比tmep大的数
            int l=,h=s,m;
            while(l<=h)
            {
                m=l+(h-l)/;
                if(temp>a[m])
                    l=m+;

                else
                    h=m-;
            }
            a[l]=temp;
        }

    }
    cout<<s<<endl;
}