DW李宏毅机器学习笔记--Task03（下）-梯度下降

文章目录

• 前言
• 什么是梯度下降法？
• Tip1：调整学习速率
• • 小心翼翼地调整学习率
  • 自适应学习率
  • Adagrad 算法
  • • Adagrad 是什么？
    • Adagrad举例
    • Adagrad 存在的矛盾？
    • 多参数下结论不一定成立
    • Adagrad 进一步的解释
• Tip2：随机梯度下降法
• Tip3：特征缩放
• • 为什么要这样做？
  • 怎么做缩放？
• 梯度下降的理论基础
• • 问题
• 数学理论
• • 泰勒展开式
  • • 定义
    • 多变量泰勒展开式
  • 利用泰勒展开式简化
• 梯度下降的限制
• 总结

前言

这是我在Datawhale组队学习李宏毅机器学习的记录，既作为我学习过程中的一些记录，也供同好们一起交流研究，之后还会继续更新相关内容的博客。

什么是梯度下降法？

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

θ ∗ = arg min ⁡ θ L ( θ ) (1) \theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1 θ∗=θarg min​L(θ)(1)

L L L :lossfunction（损失函数）

θ \theta θ :parameters（参数）

这里的parameters是复数，即 θ \theta θ 指代一堆参数，比如上篇说到的 w w w 和 b b b 。

我们要找一组参数 θ \theta θ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：

假设 θ \theta θ 有里面有两个参数 θ 1 , θ 2 \theta_1, \theta_2 θ1​,θ2​ 随机选取初始值

θ 0 = [ θ 1 0   θ 2 0 ] (2) \theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2 θ0=[θ10​ θ20​​](2)

这里可能平台不支持矩阵输入，看下图就好。

然后分别计算初始点处的两个参数对 L L L 的偏微分，然后 θ 0 \theta^0 θ0 减掉 η \eta η 乘以偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法， ▽ L ( θ ) \triangledown L(\theta) ▽L(θ) 即为梯度。

而上图中的 η \eta η 叫做Learning rates（学习速率）

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

Tip1：调整学习速率

小心翼翼地调整学习率

举例：

上图左侧图像中的黑色曲线为损失函数的曲线。

假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将某个参数更新对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应学习率

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

1. 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
2. update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率

3. 比如 η t = η t t + 1 \eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} ηt=t+1

   ​ηt​， t t t 是次数。随着次数的增加， η t \eta^t ηt 减小

一个学习率不能适用于所有特征，不同的参数需要不同的学习率

Adagrad 算法

Adagrad 是什么？

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。

解释：

普通的梯度下降为：

w t + 1 ← w t − η t g t (3) w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t \tag3 wt+1←wt−ηtgt(3) η t = η t t + 1 (4) \eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4 ηt=t+1

​ηt​(4)

w w w 是一个参数

Adagrad 可以做的更好： w t + 1 ← w t − η t σ t g t (5) w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma^t}g^t \tag5 wt+1←wt−σtηt​gt(5) g t = ∂ L ( θ t ) ∂ w (6) g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6 gt=∂w∂L(θt)​(6)

σ t \sigma^t σt :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad 存在的矛盾？

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

下图是一个直观的解释：

直观的解释是，但我们的训练数据集出现这样的反差时，为了将其凸显出来，所以在分母处除以这个均方根。

下面给一个正式的解释：

比如初始点在 x 0 x_0 x0​，最低点为 − b 2 a −\frac{b}{2a} −2ab​，最佳的步伐就是 x 0 x_0 x0​ 到最低点之间的距离 ∣ x 0 + b 2 a ∣ \left | x_0+\frac{b}{2a} \right | ∣∣​x0​+2ab​∣∣​，也可以写成 ∣ 2 a x 0 + b 2 a ∣ \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right | ∣∣​2a2ax0​+b​∣∣​。而刚好 ∣ 2 a x 0 + b ∣ |2ax_0+b| ∣2ax0​+b∣ 就是方程绝对值在 x 0 x_0 x0​ 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远，这个时候较大的learning rate就更加合适。所以好的rate要和微分的大小成正比。所以如果learning rate和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

当然这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。

如果只考虑参数 w 1 w_1 w1​，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w 2 w_2 w2​，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 a a a 和 b b b，结论1-1是成立的，同理 c c c 和 b b b 也成立。但是如果对比 a a a 和 c c c，就不成立了， c c c 比 a a a 大，但 c c c 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 ∣ 2 a x 0 + b 2 a ∣ \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right | ∣∣​2a2ax0​+b​∣∣​，还有个分母 2 a 2a 2a 。对function进行二次微分刚好可以得到： ∂ 2 y ∂ x 2 = 2 a (7) \frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a \tag7 ∂x2∂2y​=2a(7) 所以最好的步伐应该是： 一 次 微 分 二 次 微 分 \frac{一次微分}{二次微分} 二次微分一次微分​ 即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

对于 ∑ i = 0 t ( g i ) 2 \sqrt{\sum_{i=0}^t(g^i)^2} ∑i=0t​(gi)2

​ 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：随机梯度下降法

之前的梯度下降：

L = ∑ n ( y ^ n − ( b + ∑ w i x i n ) ) 2 (8) L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag8 L=n∑​(y^​n−(b+∑wi​xin​))2(8) θ i = θ i − 1 − η ▽ L ( θ i − 1 ) (9) \theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9 θi=θi−1−η▽L(θi−1)(9)

而随机梯度下降法更快：

损失函数不需要处理训练集所有的数据，而是随机地选取一组数据 x n x^n xn

L = ( y ^ n − ( b + ∑ w i x i n ) ) 2 (10) L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag{10} L=(y^​n−(b+∑wi​xin​))2(10) θ i = θ i − 1 − η ▽ L n ( θ i − 1 ) (11) \theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta^{i-1}) \tag{11} θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)(11)

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。

对比：

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）

Tip3：特征缩放

比如有个函数：

y = b + w 1 x 1 + w 2 x 2 (12) y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12} y=b+w1​x1​+w2​x2​(12) 两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做？

上图左边是 x 1 x_1 x1​ 的scale比 x 2 x_2 x2​ 要小很多，所以当 w 1 w_1 w1​ 和 w 2 w_2 w2​ 做同样的变化时， w 1 w_1 w1​ 对 y y y 的变化影响是比较小的， x 2 x_2 x2​ 对 y y y 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w 1 w_1 w1​ 对 y y y 的变化影响比较小，所以 w 1 w_1 w1​ 对损失函数的影响比较小， w 1 w_1 w1​ 对损失函数有比较小的微分，所以 w 1 w_1 w1​ 方向上是比较平滑的。同理 x 2 x_2 x2​ 对 y y y 的影响比较大，所以 x 2 x_2 x2​ 对损失函数的影响比较大，所以在 x 2 x_2 x2​ 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形如果不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形中更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放？

方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组特征。

对每一个维度 i i i（绿色框）都计算平均数，记做 m i m_i mi​；还要计算标准差，记做 σ i \sigma _i σi​。

然后用第 r r r 个例子中的第 i i i 个输入，减掉平均数 m i m_i mi​，然后除以标准差 σ i \sigma _i σi​，得到的结果是所有的维数都是 0 0 0，所有的方差都是 1 1 1

梯度下降的理论基础

问题

当用梯度下降解决问题：

θ ∗ = arg min ⁡ θ L ( θ ) (1) \theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1 θ∗=θarg min​L(θ)(1)

每次更新参数 θ \theta θ，都得到一个新的 θ \theta θ，它都使得损失函数更小。即：

L ( θ 0 ) > L ( θ 1 ) > L ( θ 2 ) > ⋅ ⋅ ⋅ (13) L(\theta^0) >L(\theta^1)>L(\theta^2)>···\tag{13} L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅(13)

上述结论正确吗？

结论是不正确的。。。

数学理论

比如在 θ 0 \theta^0 θ0 处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 θ 1 \theta^1 θ1，不断的这样去寻找。

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？

泰勒展开式

先介绍一下泰勒展开式

定义

若 h ( x ) h(x) h(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0​ 点的某个领域内有无限阶导数（即无限可微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：

h ( x ) = ∑ k = 0 ∞ h k ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k   = h ( x 0 ) + h ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + h ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ (14) \begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty }\frac{h^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \ & =h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)+\frac{h''(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+⋯ \tag{14} \end{aligned} h(x)​=k=0∑∞​k!hk(x0​)​(x−x0​)k ​=h(x0​)+h′(x0​)(x−x0​)+2!h′′(x0​)​(x−x0​)2+⋯​(14)

当 x x x 很接近 x 0 x_0 x0​ 时，有 h ( x ) ≈ h ( x 0 ) + h ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) h(x)≈h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0) h(x)≈h(x0​)+h′(x0​)(x−x0​) 式14 就是函数 h ( x ) h(x) h(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0​ 点附近关于 x x x 的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。

举例：

图中3条蓝色线是把前3项作图，橙色线是 s i n ( x ) sin(x) sin(x)。

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

利用泰勒展开式简化

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式，在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：

将问题进而简化为下图：

不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量 ( △ θ 1 , △ θ 2 ) (\triangle \theta_1,\triangle \theta_2) (△θ1​,△θ2​) 和 ( u , v ) (u,v) (u,v) 的内积，那怎样让它最小，就是和向量 ( u , v ) (u,v) (u,v) 方向相反的向量

然后将u和v带入。

L ( θ ) ≈ s + u ( θ 1 − a ) + v ( θ 2 − b ) (14) L(\theta)\approx s+u(\theta_1 - a)+v(\theta_2 - b) \tag{14} L(θ)≈s+u(θ1​−a)+v(θ2​−b)(14)

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

梯度下降的限制

容易陷入局部极值 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点。在我之前的博文中有详细的介绍。

总结

这节课聚焦于回归问题的第三步，梯度下降法。从定义，一些十分重要的tips，以及背后的理论基础和数学原理进行了详尽的介绍。