本章讲的是勾股数组与单位圆的关系,讲关于勾股数的公式可以通过几何形式来推出。
定理3.1:
- 圆x2+y2=1上的坐标是有理数的点都可以由公式: (x,y)=(1−m21+m2,2m1+m2)得到,其中m取有理数值.(点(−1,0)例外,这个当m→∞时的极限值 )。
习题解析:
1.
(a)如果u和v有公因数,假设d|u且d|v,那么显然会有d|a,d|b,d|c,所以(a,b,c)不是本原勾股数组。
(b)是否存在u和v没有公因数(u>0,v>0),但是该三元组(u2−v2,2uv,u2+v2)不是本原的。如果要让d|a,d|b,d|c,又要让d不被u或v整除,那么只有让d=2,v和u是奇数,那么显然a和c是偶数,2uv也是偶数,例如(6,8,10),此时u=3,v=1.
(c)自己打表。
(d)打表可以发现,当u和v互质且u和v一奇一偶时,(a,b,c)是本原的。
(e)证明:u=2k+1,v=2t
u2+v2=4k2+4k+1+4t2
2uv=2∗2t(2k+1)
u2−v2=4k2+4k+1−4t2
反证:
设(u2−v2,2uv,u2−v2)不是本原的,即存在d
d!=1且d不能整除u或v
d|(4k2+4k+1+4t2)..................1
d|2∗2t(2k+1).........................2
d|(4k2+4k+1−4t2)...................3
如果d来自2,那么显然与1式和3式矛盾。
如果d来自2t,那么d不整除u,与1式和3式矛盾。
同理如果d来自(2k+1),与1式和3式矛盾
所以当u和v一奇一偶且互质时,(u2−v2,2uv,u2−v2)才是本原的。
2.
(a)(v2−2uv−u2u2+v2,u2−2uv+v2u2+v2)
(b)如果用相同的方法求圆x2+y2=3上所有坐标为有理数的点,那么会发现没有一个坐标为有理数值点能够作为基准点,也就是不能找到能起到像x2+y2=2中的点(1,1),x2+y2=1中的点(−1,0)这种作用的点。