【從入門到放棄-Java】碼出高效-計算機基礎-二進制和浮點數

前言

最近在學習孤盡大神内網分享的資料時，被安利了一本書【碼出高效】，這也是他在【阿裡巴巴Java開發手冊】一書後，結合阿裡的生産經驗和曆史故障給出的最佳研發實踐。

剛拿到書，打開目錄，會覺得這是一本基礎入門書，裡面的東西大家都懂，但是沒翻幾頁你就會被裡面生動的案例和技術細節吸引，有很多在日常開發中會經常用到，但一直被忽略的點，這些點往往是引發故障的點。現在就将我在學習過程中的筆記和收獲記錄下來和大家一起分享。

本篇就從計算機入門的二進制和浮點數開始。

二進制

起源

簡單來說，計算機是由半導體和電路闆組合起來的電子裝置，資訊存儲和邏輯計算的中繼資料歸根結底都是0和1的信号處理。

隻有0和1，進位規則是逢二進一，借位規則是借一當二，這就是二進制。

編碼方式

通過符号位和數字實際值可以表示數，有以下三種基本編碼方式

原碼

正數部分是數值本身，符号位為0；負數數值部分是數值本身，符合位為1。八位二進制數表示範圍是[-127, 127]。這是最符合人類認知的編碼方式。

反碼

正數部分是數值本身，符号位為0；負數數值部分是正數的基礎上對各位取反，符号位為1。八位二進制的表示範圍是[-127, 127]。

補碼

正數部分是數值本身，符号位為0；負數樹值部分是正數的基礎上對各位取反後加一，符号位為1.八位二進制的表示範圍是[-128, 127]。

加減運算

因為計算機中隻有加法器，沒有減法器。通過原碼相加，結果會出錯。如:

1 - 2 = 1 + ( -2 ) = -1

通過原碼計算為[0000 0001] + [1000 0010] = [1000 0011] = -3，結果明顯是不對的。

通過反碼計算為[0000 0001] + [1111 1101] = [1111 1110] = -1，結果正确。

但是反碼在某些情況出現新的問題。如：

2 - 2 = 2 + ( -2 ) = 0

通過原碼計算為[0000 0010] + [1000 0010] = [1000 0100] = -4，結果不正确。

通過反碼計算為[0000 0010] + [1111 1101] = [1111 1111] = -0，反碼有+0和-0的區分，用反碼計算也是有歧義的。

通過補碼計算為[0000 0010] + [1111 1110] = [0000 0000] = 0，補碼中隻有0，結果符合預期。

加減法是一個高頻運算，使用同一個運算器，可以減少中間變量的存儲及轉換成本，也降低了CPU設計的複雜度。

位運算

左移：<<，相當于乘2

右移：>>，相當于除2（最後一位是奇數時，存在誤差），帶符号位右移動，負數最高位補1，正數最高位補0。是以可以通過使用 ((b >> 31) ^ (a >> 31)) == 0 來判斷兩個整數正負是否相同。

無符号右移：>>>，無符号位右移，正數和負數最高位都補0，主要用于一些資料轉換，如加密、壓縮、影音編碼等場景。

取反：~，按位取反，0取反是1

與：&，按位與，相同位都為1才，就為1

或：|，按位或，相同位隻要有一個是1，就為1

異或：^，按位異或，相同位相等的時候為1，不相同的時候為0

浮點數

浮點數采用科學技術法來表示的，由符号位、有效數字、指數三部分組成。但編碼過程中經常會出現丢失精度的問題，如下：

float a = 1f;
float b = 0.9f;
float c = (a - b);
//c = 0.100000024
System.out.println(c);           

常見的浮點數有單精度和雙精度浮點數，占用位元組數和取值範圍不同。單精度四個位元組，雙精度八個位元組。

單精度浮點數的構成是1位符号位，8位階碼位（指數），23位尾數位（有效數字）。

階碼使用移碼來表示，尾數使用原碼來表示。移碼範圍是[0, 255]去掉特殊的0（計算機認為全零是機器0）和255（計算機認為是無窮大），階碼的取值範圍是[1, 254]，根據移碼的定義，[x]=x+2^(n-1)，n是8，是以x的取值範圍是[-126, 127]

尾數位是原碼表示的，1.111....111（23個1）, 1 <= a < 2, 是以規格化後的尾數首個1會被省略，是以實際能表示24位尾數，最大值無限接近于2，是以單精度浮點數能表示的最大值為2^127，約等于(1.7*10^38)。

小數加減需要将小數點對齊後進行同位相加減，是以浮點數加減需要先将指數對齊，再進行同位加減

零值檢測

參與運算的兩個數中，隻要有一個是0就直接得出結果。因為浮點數運算過程比較複雜

對階操作

小數點需要對齊，當階碼大小不相等時，需要先對階，通過移動尾數改變階碼大小，尾數向右移一位，階碼值加一，反之減一。移動尾數過程中可能存在部分二進制被移出。但如果向左移動，會使高位移出，誤差更大，是以規定在對階時，選擇階碼小的數進行操作

尾數求和

對接完成後，按位相加即可，如9.8*10^38 + 6.5*10^37 = 9.8*10^38 + 0.65*10^38 = 10.45^38

結果格式化

求和完畢後，如果整數為不在[1, 9]，則需要左右調整，尾數向右移動稱為右規，向左移動稱為左規。10.45^38要調整為1.045^39

結果舍入

因為對接或右規時，尾數需要移動，移出的位會被丢棄，為了減少精度損失，需要先将移出的這部分資料儲存出來，稱為保護位，格式化後再根據保護位進行舍入處理。

示例

1.0 - 0.9

1.0 - 0.9 = 1.0 + (-0.9)
1.0的浮點數辨別           

二進制表示

1.0:  [0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000]
-0.9: [1011 1111 0110 0110 0110 0110 0110 0110]           

對階

1.0的階碼是127，-0.9的階碼是126，比較階碼後需要向右移動-0.9位數的補碼，使其變成127，最高位補1。

-0.9的尾數位補碼為：[0001 1001 1001 1001 1001 1010]
對階後為：[1000 1100 1100 1100 1100 1101]           

尾數轉換成補碼相加

[1000 1100 1100 1100 1100 1101]
+[1000 0000 0000 0000 0000 0000]
=[0000 1100 1100 1100 1100 1101]           

規格化

尾數的最高位必須是1，是以需要将結果向左移動4位，階碼減4。

符号位為1

移動後階碼等于123（二進制[1111011]）

尾數為[1100 1100 1100 1100 1101 0000]

隐藏最高位後是[100 1100 1100 1100 1101 0000]

最終1.0-0.9二進制表示[1011 1101 1100 1100 1100 1100 1101 0000]

尾數小數點後對應的十進制是 (1 + 2^-1 + 2^-4 + 2^-5 + 2^-8 + 2^-9 + 2^-12 + 2^-13 + 2^-16 + 2^-17 + 2^-19) * 2^-4 = 0.100000024           

是以通過上面的執行個體分析，我們了解了 為什麼浮點數1.0-0.9 結果為 0.100000024

總結

二進制和浮點數是我們最初接觸計算機時學習的基礎理論，日常開發中也會經常遇到，但很容易忽視。下面總結下我學完本章内容收獲到有意思的知識點：

• 反碼和補碼誕生的原因：計算機中隻有加法器，沒有減法器。通過原碼相加，結果會出錯，是以出現了反碼，又因為反碼存在+0和-0問題，是以出現了補碼。
• 判斷兩個數符号是否相同：可以通過使用 ((b >> 31) ^ (a >> 31)) == 0 來判斷兩個整數正負是否相同
• 浮點數分單精度和雙精度：單精度浮點數占四個位元組32位，從左到右，1位符号位，8位階碼位（指數的移碼），23位尾數位
• 浮點數加減運算：0值檢測 -> 對階 -> 尾數求和 -> 規格化 -> 結果舍入

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